第三章 二次型
一.主要内容
本章主要讨论二次型的标准化、二次型的正定性判定等问题，而矩阵的特征值与特征向量、向量的内积等内容则是研究二次型的基础．
（一）、线性无关向量组的正交规范化
线性无关向量组的正交规范化是本章的基本内容之一．给定线性无关的向量组?1，?2，?，?m，将其正交规范化的步骤是：
第一步：运用施密特正交化方法将线性无关的向量组?1，?2，?，?m变为正交向量组?1，?2，?，?m:
?1??1;
?2??2?(?2,?1)(?1,?1)?1;
??
?r??r?(?r,?1)(?1,?1)?1?(?r,?2)(?2,?2)?2???(?r,?r?1)(?r?1,?r?1)?r?1;
第二步： 将正交向量组?1，?2，?，?m单位化:
ei?1?i?i,i?1,2,?,r.
则e1,e2,?,er是一个正交规范向量组.
（二）、方阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值是矩阵另一个重要的数值特征，它反映了方阵的某些重要性质，例如，若n阶方阵有n个不同的特征值，则它可逆．求矩阵的特征值与特征向量是本章的又一重要而基本的内容．给定矩阵
?a11?a21A??????an1
a12a22?an2????a1n??a2n? ???ann?1
求A的特征值与特征向量的一般步骤是：
第一步： 计算n阶行列式A??E；
第二步： 解特征方程A??E?0，求矩阵A的特征值?；
第三步：对矩阵A的每个特征值?，求方程组?A??E?x?0的基础解系，方程组
?A??E?x?0的任何非零解都是矩阵A的对应于特征值?的特征向量．
方阵的特征值与特征向量、正交矩阵是线性代数中重要概念，它们在数学理论、工程技术中有着广泛的应用，应当掌握其定义、性质及计算方法．
（三）、化二次型为标准形
化二次型为标准形有下面两种基本方法： 1．配方法
配方法是化二次型为标准形的基本而重要的方法．值得注意的是，如果二次型f?x1,x2,?,xn?中含有平方项时，可直接利用完全平方公式进行配方；如果二次型f?x1,x2,?,xn?中不含有平方项，而只含有交叉项时，应先利用平方差公式作辅助变换使
其产生平方项，然后再利用完全平方公式进行配方．
2．正交变换法
正交变换法是化二次型为标准形的重要的方法，该方法的一般步骤是：
第一步：求出二次型f?xTAx的矩阵A的特征值?1，?2，?，?n与相应特征向量?1，?2，?，?n；
第二步：将所求得的特征向量?1，?2，?，?n正交规范化，得?1，?2，?，?n； 第三步：将已正交规范化的特征向量?1，?2，?，?n作为列向量构成正交矩阵
P???1?2??n?，
写出正交变换x?Py，于是，该正交变换将二次型f化为标准形
f?xAx??1y1??2y2????nyn．
T222（四）、正定二次型及其判定方法
判定二次型（或对称矩阵）为正定的方法有： 1．行列式法
对于给定的二次型，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型（或对称矩阵）的正定性.
2．正惯性指数法(加上：或求矩阵的所有特征值？)
T对于给定的二次型f?x1,x2,?,xn??xTAx，先将f?xAx化为标准形，然后根据标
准形中平方项系数为正的个数是否等于n，来判定二次型的正定性．
2
二、基本要求与疑难解析
(一) 基本要求
1．了解二次型及二次型的秩的概念,能熟练地写出二次型的矩阵;了解二次型的标准形及二次型的分类;了解合同矩阵的概念,掌握用配方法将二次型化为标准形的方法; 2．理解方阵的特征值与特征向量的概念，掌握特征值的基本性质.熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的计算方法;
3．了解向量的内积,长度及夹角的概念,熟练掌握将线性无关的向量组正交规范化的施密特方法,了解正交矩阵的概念及其性质;
4．了解相似矩阵的概念及其性质，熟练掌握用正交变换将二次型化为标准形的方法; 5.了解惯性定理,能判定二次型的正定性.
(二) 疑难解析
1. 对二次型f，若矩阵B满足f=XTBX，是否矩阵B一定是二次型f的矩阵？ 答 不一定，当矩阵B不实对称阵时，B不是二次型的矩阵；只有当B为实际称阵时，B才是二次型f的矩阵. 例如：二次型
?1?f(x1,x2,x3)?(x1,x2,x3)4???725823??x1????6x2???9????x3??
?x1?5x2?9x3?6x1x2?10x1x3?14x2x3?1??(x1,x2x3)3???53275??x1????7x2,???9????x3??22
?1?对称矩阵A??3??53275??1??7是二次型f的矩阵，而4???9??7?2583??6不是. ?9??2. 二次型的标准形是唯一的吗？
答 不唯一，与所作的变换有关系. 例如，对于二次型f(x1,x2)?x1x2，作线
?x1?y1?y2,性变换?可将其化为标准形f?y12?y22；也可作正交变换
?x2?y1?y2,?22x?y?y2,?111212?22f?y1?y2. 将其化为标准形?2222?x2?y1?y2,?22?
3．二次型f=XTAX化成了标准形YT?Y，问对角阵?的对角元?i(i?1,?,n)是否一定是A的特征值？
3
答 不一定. 二次型f?XTAX只有用正交变换化为标准形后，其标准形系数才是原二次型的矩阵A的特征值. 例如在前例中, 由于矩阵A的特征值为?故在二次型f的标准形
?1f?y?y?(y1,y2)??0?212212，
0??y1????y?? ?1???2?中，对角元1和－1都不是矩阵A的特征值.
4. 二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x22?3x32，与二次型f(x1,x2,x3,x4)?x12?2x22
?3x32都是正定的吗？
答 前者是正定的（正惯性指数等于3），而后者是半正定的（正惯性指数也等于3）. 事实上，对任意的非零向量x?(x1,x2,x3)T，三元二次型
f(x1,x2,x3)?x1?2x2?3x3?0；而对任意的非零向量x?(x1,x2,x3,x4)222T，四元
二次型f(x1,x2,x3,x4)?x12?2x22?3x32?0，且存在非零向量x?(0,0,0,1)T，使得四元二次型f(x1,x2,x3,x4)?x12?2x22?3x32＝0.
5.实对称矩阵在正交变换下的标准形有哪些应用?
答 设A为n阶实对称矩阵,存在正交矩阵Q，使得将A化为对角矩阵,即
QAQ?QAQ?diag{?1,?2,?,?n},T?1?a?
或
A?Qdiag{?1,?2,?,?n}Q?1,(b)（公式号右对齐，diag用正体，下同）
其中?1,?2,?,?n为A的的特征值, diag{?1,?2,?,?n}为A在正交变换下的标准形,它在证明题中有广泛应用.
1) 根据实对称矩阵满足的条件,利用(a)式求出实对称矩阵的相似标准形. 例1 已知n阶实对称矩阵A是等幂矩阵(即A2?A),且R(A)?r. (1) 求矩阵A的相似标准形; (2) 计算行列式3E?A.
解 (1) A?A?A??A(A?)?A(??)??(A?)???,A??A????,
2222 4
2?????????1,或??0.
(建议改为：任取矩阵A的特征值?及其特征向量?，成立
22A??A(A?)?A(??)??A????, A????.
由于A2?A，A2??A?,故有?2????. 因此，(?2??)??0. 又由于??0，??1或??0. 故由(a)式，存在正交矩阵Q，使得
Q?1AQ?diag{1,1,?,1,0,?,0},（用句点）
由于R(A)?r,所以特征值1有r个.因此, A的相似标准形为
Q?1AQ?diag{1,1,?,1,0,?,0},(共r个1).
(2) 由(1)知A有r个值为1的特征值, n?r个零特征值,因此
f(?)??E?A??n?r(??1),
r将??3代入上式得
3E?A?3n?r?2.
r2) 证明与实对称矩阵有关的行列式不等式.
例2 设A为n阶实对称矩阵,A?0且A的特征值都是非负数,试证A?E?1. 证明 设A的特征值为?1,?2,?,?n,则?1?0,?2?0,?,?n?0且至少有一个?j?0.否则, ?1??2????n?0,从而由(b)有
A?Qdiag{?1,?2,?,?n}Q?1?Q?0?Q?1?0,
与A?0相矛盾.再由(b)式,有
A?Qdiag{?1,?2,?,?n}Q?1,
E?Qdiag{1,1,?,1}Q?1,
从而有
A?E?Qdiag{?1,?2,?,?n}Q?1?Qdiag{1,1,?,1}Q?1?1?Qdiag{?1?1,?2?1,?,?n?1}Q?(?1?1)(?2?1)?(?n?1)?1.?Qdiag{?1?1,?2?1,?,?n?1}Q?1
3) 以对角矩阵diag{?1,?2,?,?n}为桥梁,证明实对称矩阵A的性质.这里?1,?2,?,?n 5