?2??2?(?2,?1)(?1,?1)?1?(1,2,3)?T63(1,1,1)?(?1,0,1).
TT?3??3?(?3,?1)(?1,?1)?1?(?3,?2)(?2,?2)?2
?(1,4,9)T?14(1,1,1)T?832(?1,0,1)T?(121T3,?3,3).(2) 由于?1?(3,1,?1,3)T，?T2?(?5,1,5,?7)，?3?(1,1,?2,8)T, ?T1??1?(3,1,?1,3),
?(?2,?1)TT2??2?(?1?(?5,1,5,?7)?2(3,1,?1,3)T?(1,3,3,?1).
1,?1)??(?3,?1)2)3??3?(???3,?1?(1,?1)(??22,?2)
?(1,1,?2,8)T?3T12(3,1,?1,3)?2(1,3,3,?1)T?(?3,1,1,3)T.
９．设A??16??6??3???52?，u?????5?，v?????2?，u和v是否是A的特征向量？?解 因为
Au??16??6???52???24??4?6???????20??????5???4u, ???5?所以,u??6?6??是A??1??5????52?的属于特征根???4的特征向量. ?又因为
Av??16??3???9??3???52?????2?????11???????2?, ?所以,v??3?6??不是A??1??2????52?的特征向量. ?
１０．设矩阵
?4?1?6 A???21???6. ?2?1??8??2是A的一个特征值吗？如果是，求对应于??2的所有特征向量．
解 因为
2?16 A?2E?2?16?0, 2?16所以, ??2是A的一个特征值. 解方程组
21
?2? (A?2E)x?2??2?T?1?1?16??x1??6x2???6???x3T??0?????0,即2x1?x2?6x3?0, ?????0????得它的一个基础解系为?1?(1,2,0)T,?2?(?3,0,1)T.因此对应于??2的所有特征向量为 ??c1?1?c2?2?c1(1,2,0)?c2(?3,0,1),其中c1,c2不全为零.
１１．求下列矩阵的特征值与特征向量： ?1?（１）A?2??3?3???2??13； （２）A?0????436???解 (1) 因为矩阵A的特征方程为
1??A??E?23?1???0023??321??3366???336???1??00?1???1??02??321??3321211??0． ?3??336???1???002??3509???6??
???(??1)(??9)?0,所以A的特征值分别为?1??1,?2?0,?3?9. 当???1时,
?2?A??E?A?E?2??3?2233??1?r?3???0????07??1000??1. ?0??因此, 齐次线性方程组 (A?E)x?0的一个基础解系为
?1????1??1.
???0???从而，A的属于特征值???1的一个特征向量为?1，c1?1（c1为任意非零常数）为属于特征值???1的全部特征向量.
当??0时, ?1? A??E?A??2?3?2133??1?r?3???0????06??0101??1. ?0??因此, 齐次线性方程组 Ax?0的一个基础解系为
22
?1????2?1.
????1???从而，A的属于特征值??0的一个特征向量为?2. c2?2（c2为任意非零常数）为属于特征值??0的全部特征向量.
当??9时,
??1?r????0??0???0101?2??1??. 2??0??????8?A??E?A?9E?2??3?2?833??3??3??因此, 齐次线性方程组 (A?9E)x?0的一个基础解系为
?1????3?1.
???2???从而，A的属于特征值??9的一个特征向量为?3，c3?3（c3为任意非零常数）为属于特征值??9的全部特征向量.
(2) 因为矩阵A的特征方程为
?2??A??E?0?4?(2??)?1???1??212??113??103???(??2)(??1)11?(2??)?2???413??13??
??(??2)(??1)?0,所以A的特征值分别为?1??1,?2??3?2. 当???1时,
??1?A??E?A?E?0???4?1311??1?r?0???0????04??010?1??0. ?0??因此, 齐次线性方程组 (A?E)x?0的一个基础解系为
23
?1????1?0.
???1???从而，A的属于特征值???1的一个特征向量为?1，c1?1（c1为任意非零常数）为属于特征值???1的全部特征向量.
当??2时, ??4? A??E?A?2E?0???4?101??11??r?0????0??01?????14?1??4?0?. 0???00因此, 齐次线性方程组 (A?2E)x?0的一个基础解系为
?1??1??????2?4,?3?0.
?????0??4?????从而，A的属于特征值??2的两个线性无关的特征向量为?2,?3. c2?2?c3?3（c2,c3为不全为零的任意常数）为属于特征值??2的全部特征向量.
１２．设３阶矩阵A的特征值为?1?2，?2??2，?3?1．对应的特征向量依次为
p1??0,1,1?，p2??1,1,1?，p3??1,1,0?．求A．
TTT解 先将p1??0,1,1?，p2??1,1,1?，p3??1,1,0?正交化,
?1?p1?(0,1,1),
TTTT?2?p2?(p2,?1)(?1,?1)?1?(1,1,1)?(0,1,1)?(1,0,0).
TTT?3?p3?T(p3,?1)(?1,?1)12?1?T(p3,?2)(?2,?2)?2
T?(1,1,0)?(0,1,1)?(1,0,0)?(0,121,?12).T再将?1,?2,?3单位化,得 ?1? ?2? ?3?1?11?1?12(0,1,1)?(0,TT12,2),
T?21?2?(1,0,0),
?3?3?(0,12,?12),
T 24
??0??1令Q??2??1??2100?0???21??TQAQ?则,??2???1???2??2??. 因此 ?1???2?A?Q????2??TQ?1??
??0????2???2??200??0??1??2??1??212012100?0???21???2????1???2?1?2??0???1???1???0??????.????12012??2?0??1???2?1
0321201232??0??0?1????12??01??????2??????22??0???0??1????2??0?
１３．设 A???2??1?1??. 2?求An．
解 矩阵A的特征方程为
2???11??A??E???12???11??2???1???103???(??1)(??3)?0,（改用句
点）
所以,矩阵A的特征根为?1?1,?2?3. 当??1时,
?1A??E?A?E????1?1?r????1??1??0?1??. 0?因此, 齐次线性方程组 (A?E)x?0的一个基础解系为
?1??1??1???.
当??3时,
??1A?3E????1
?1?r?????1??1??01??. 0?25