?e1????13,11?,?,33?TT1?1?e2??,,0?,2?2?12??1e3??,?,?.66??6T
因此,我们得到一个正交矩阵
?????Q??????13131312120?161626?????, ??????1?T且QAQ????1??. 因此, ?1????????????????????????????????131313131216?12120131216?161626?????1????0??0???????0????0???1?????2313?23T131216?131216??1?A?Q0??0?0100??T0Q?1??0101??3??0??2??6?
????????????13131312120?1616261??1??3??32?0????3??2??2??6??32??3?2??.3??1??3?解法2 设对应于?2??3?1的特征向量为p??x1,x2,x3?.则(p1,p)?0,我们有
x1?x2?x3?0,（改用句点）
解这个方程组,得到方程组的一个基础解系,即对应于?2??3?1的线性无关的特征向量：
p2??1,1,0?,p3??1,0,1?.
TT
??1?令P??1?1?1101???1???10,则PAP?????1??1??,?因此, 1?? 16
??1?A?P0??0?0100???1??1?0P?1????11??1101???1??00???1???00100???1??01???1???11101?? 0?1???1由于
??1?1??1?110101100?121?110010?112?12?30??r0????1???111?11?1130100011323?12?1?1??1??110?101?1?0??0??100?112?110010?121?1210??0?1???111?11130010??1?0??00?120123????????1?r???0??0??1?r???0??0????1r????0??0???0??r0????1??0??1??2????1?r????0?0????110?10113131??3?1??.3??2??3?
所以
?1??0??3?10???31???1???31323?131??3?1??3??2??3???1?A?P0??0?0100???1??1?0P?1????11??1101???1??00???1???0010
??1??1??1?110?1?31???10???31???1???3?1323?131??13??3??12????3??3??2??2??3??3?2313?232?3??2??.3??1??3?
利用矩阵A的各阶顺序主子式全大于零来判定矩阵A的正定性是常用的方法.也可利用矩阵A的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子式为正来判定矩阵A的负定性.
222例6 设f?x1?4x2?4x3?2?x1x2?2x1x3?4x2x3,问?取何值时, f为正定二次
型?
222解 f?x1?4x2?4x3?2?x1x2?2x1x3?4x2x3的矩阵为
17
?1?A?????1?
?42?1??2. ?4??1由于
a11?1?0,a11a21a12a22?1?4?42?12??4(??1)(??2), 4??4??,A???12根据配套教材中的定理3.5.3知,当
2?4???0, ???4(??1)(??2)?0,即当?2?t?1时,所给的二次型正定.
例7 判别二次型f??5x12?6x22?4x32?4x1x2?4x1x3的正定性；
解
f??5x1?6x2?4x3?4x1x2?4x1x3的矩阵为
222??5?A?2??2?2?602??0. ??4??因为
a11??5?0,a11a21a12a22??522?6?26?0,A??80?0,
所以,
f??5x1?6x2?4x3?4x1x2?4x1x3为负定二次型.
222四、习题解答
习题三
A 组
１．设u??3,0,?4?，v??6,?2,?3?，求 （１）
(u,v)(u,u)TT，
1vv；
（２）u与v之间的距离和夹角． 解 (1)
1v(u,v)(u,u)2?(3,0,?4)(6,?2,?3)(3,0,?4)(3,0,?4)TT?3?6?0?(?2)?(?4)?(?3)3?0?(?4)T222?3025?65;
v=16?(?2)?(?3)22(6,?2,?3)??arccos301623TT(6,?2,?3)?(,?,?);
77749?arccos67.
(2) ?u,v??arccos
(u,v)uvT2549?2，1，1?与?2??1,?2,1?正交，２．验证向量?1=?1，并求一个非零向量?3，使得?1，
T 18
?3两两正交．
解 ?(?1,?2)??1T?2?(1,1,1)(1,?2,1)T?1?1?1?(?2)?1?1?1?2?1?0,
??1??2,即?1与?2正交.
设有?1?(x1,x2,x3)T,使?1,?2,?3两两正交. 则 ?1??3,?2??3.从而有
(?1,?3)?x1?x2?x3?0,(?2,?3)?x1?2x2?x3?0.解方程组
?x1?x2?x3?0,?x2?0, ???x?2x?x?0,x?x?0.233?1?1取x1?c(c?0),得?3?(c,0,?c)T,则当c?0时，?1,?2,?3两两正交.
３．已知?1??1,1,1?，求一组非零向量?2,?3，使得?1，?2，?3两两正交．
T解 设与?1正交的向量??(x1,x2,x3)T应满足(?,?1)?0,即
x1?x2?x3?0
将它看成是关于x1,x2,x3的线性方程组. 经计算得这个方程组的一个基础解系为
?1?(1,?1,0),?2?(1,0,?1).
T再将?1?(1,?1,0),?2?(1,0,?1)T正交化得
TT?2??1?(1,?1,0),?3??2?T(?1,?2)(?1,?1)?1?(1,0,?1)?T111TT(1,?1,0)?(,,?1). 222则?2,?3为所求,即?1，?2，?3两两正交(注:答案不唯一).
４．设?1,?2,?3是R3中的正交规范向量组，令
y?3?1??2?4?3， x?2?1?2?2??和3（１）求(x,y)的值； （２）求x的值．
T解 (1) (x,y)=xTy?(2?1?2?2??3)(3?1??2?4?3)=6?2?4?0；
(2) x?
(x,x)?2?(?2)?1?3.
222U是n?n正交矩阵，U?2，５．设?1,?2,?,?s是Rn中的正交规范向量组，则U?1，?，
U?s也是Rn中的正交规范向量组．
?1,i?j,TTTTT(U?,U?)?(U?)(U?)??(UU)???E?????证明 因为 ?ijijijijij0,i?j.?所以, U?1，U?2，?，U?s也是Rn中的正交规范向量组．
６．下列矩阵是否为正交矩阵？说明理由：
19
1?84??1?????23999???1?8141??． ； （２）???92?99????1447????1?????299???91111T11T解 (1) 不是.因为令?1?(1,?,)T，?2?(?,1,)，?3?(,,?1)则?1?1.
232232184814447(2) 是. 因为令?1?(,?,?)T，?2?(?,,?)T，?3?(?,?,)T.
999999999??1?1（１）???2??1??3?1则
(?1,?2)?(?2,?3)?(?3,?1)?0,且 ?1??2??3?1.
所以?1，?2，?3两两正交且为单位向量.因此,所给矩阵为正交矩阵.
７．已知
???A???????13a23?b13232??3?2?? 3??c???为正交矩阵，求a，b，c．
解 令?1?(,a,)，?2?(b,,?T12123333(?1,?2)?(?2,?3)?(?3,?1)?0,得
)，?3?(T23,?23,c)则由
T14?1b?a??0,?339?22?2b??c?0,??393?2?22?a?c?0.?933?2?a?,?3?a?b?4/3,?2??b?c?1/3,?b?, ??3???a?c?1/3.1?c?.?3?
８．用施密特方法将下列向量组正交化：
?1??1??1?123?31??1?4； （２）??1,?2,?3??????1?9???3?515?71??1?． ?2??8?（１）??1,?2,?3?TTT解 (1) 由于?1?(1,1,1)，?2?(1,2,3)，?3?(1,4,9)，
?1??1?(1,1,1),
20
T