矩阵的对角化可以简化矩阵的运算,由配套教材的第三章的中阅读资料2可知, n阶方阵A可对角化的充分必要条件是对应于A的每一个特征值的线性无关的特征向量的个数（每一个特征值的全部特征向量的最大线性无关组中向量的个数？）恰好等于该特征值的重数.
?2?12??1?????a3的一个特征向量为p?1. 例2 设 A?5??????1b???1??2????(1) 求参数a,b的值及A的相应于特征向量p的特征值;
(2) 矩阵A能否对角化？
解 (1) 设A的相应于特征向量p的特征值为?, 可得方程组(A??E)p?0,即 ?2???(A??E)?5???1??1a??b??1??0??????3?21?0.（第一个等号左边少了东西，等号右
????????1??0????????边中的矩阵多了东西） 2所以,
????1?0,?????a?2?0（第二个等式加逗号，第三个等式后改成句点） ???b?1?0,?
解之得
????1,??a??3 ?b?0.? (2) 因为A的特征多项式为
2??A??E?5?1?1?3??023?2??1???2???1?1?3??023?2??
1???1?1?1?2??0121?2???1?2??011???1?1?1?2??0??1?2??10????11?100??1?2??0???11?2??
??(??1)1?1??(??1)1?1?1???1??(??1).3?2???1??所以A有三重特征根为?1??2??3??1.
对?1??2??3?1,由于
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?3?A??1E?A?E?5???1??1??0??0?0211??1??2?0????01??010?1?201??1.?0??2??1??3?5????3?1??0?2?11??3?2??
可知
R(A?E)?2,n?R(A?E)?3?2?1,
即A的与三重特征根???1对应的线性无关的特征向量只有一个（改成：线性无关的特征
向量组中仅含一个向量？）.所以, A只有一个线性无关的特征向量（如何理解？）,因此A不能对角化.
下面的例子说明将矩阵对角化可简化矩阵的运算.
例3设
?1? A?0??0???1?01，
???23?1求A100．
解 矩阵A的特征方程为
1??A??E?001???2?113???(1??)???213????(??1)(??2).
2所以,矩阵A的特征根为?1??2?1,?3?2. 当??1时,
?0?A??E?A?E?0??0?1?1?2?1??0?r?1???0????02??100?1??0. ?0??因此, 齐次线性方程组 (A?E)x?0的一个基础解系为
?1??0??????1?0,?2?1.
?????0??1?????当??2时,
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??1?A?2E?0??0?1?2?2?1??r1????1???1?0??0??1?201??1?0????1?r????0??0???0101?2??1??.
?2?0???因此, 齐次线性方程组 (A?2E)x?0的一个基础解系为
??1????3?1.
???2????1?令P?0??0?100011?1??1???11,则PAP?????2??0100??0?2??100?11??1??,因此, A?P0????02??0100???10P?100?2?1??1???1??0??1???0011?2221001001010100???10P, ?2??A?1??P0??0?0112100P?1??P0??0??1??0??0??1???0?0??1??1??10???2???0?11001010101000??1??00??100?2???0???1?.?1???12?1??1????0??0???12?11???1 ?1??1?2221001012?22?2
利用正交变换将二次型化为标准形是本章的最为重要和极具代表性的问题,其中涉及到方阵的特征值和特征向量,还涉及到将线性无关的向量组正交规范化.
例4将二次型
2222f?7x1?7x2?7x3?7x4?6x1x2?2x1x3?2x1x4?2x2x3?2x2x4?6x3x4 化为标准形．
?7??3解 二次型的矩阵为A????1??1?371?1?117?31???1?. 它的特征多项式为 ?3??7? 13
7???3?114??4??4??4??A??E??37??1?17??1?1?117???3??3?117???31?1?37??1?1?37??11111000?(4??)?37??1?110??42?117???3?(4??)?3?128???21?1?37??1?2?46??10??4210??42?(4??)28???2??(4??)28???2?2?46??04??4??10??4210??42?(4??)12??12??0?(4??)2(12??)11004??4??011?(4??)2(12??)(8??).因此,矩阵A的特征值?1??2?4,?3?8,?4?12.
对于?1??2?4,由于
?3?3?11??1?1?33??A???4E???331?1???3?11?1E?A?????113?3???3?0000??1?1?33????0000??
?1?100????001?1????0000?.?0000??因此, 齐次线性方程组 (A?4E)x?0的一个基础解系为
?1?(1,1,0,0)T,?T2?(0,0,1,1),（用句点）
从而，得到A的属于特征值4的两个正交的特征向量
?TT1?(1,1,0,0),?2?(0,0,1,1).
对于?3?8,可类似地得到A的属于特征值?3?8的特征向量
?3?(?1,1,?1,1)T,（用句点）
对于?4?12,可类似地得到A的属于特征值?4?12的特征向量
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?4?(1,?1,?1,1),（用句点）
T将上述四个两两正交的特征向量?1,?2,?3,?4单位化,得
?1e1??,?2?1e3???,?21212,,0,12??0?,e2??0,??,1??1,e?4??,2??2TT0,1212,,121??,2?,1??.2?TT
???则在正交变换
???x?1?????x?2????x3??????x4?????121200001212?121??2?1?????2??1????2???1??2?12?12y1??y2? y2??y4?122222下,二次型的标准形为f?4y1?4y2?8y3?12y4.
已知一个矩阵A,求它的特征值与特征向量,在教材中已给出了解决这个问题的方法和步骤.反过来,已知一个矩阵A的特征值与特征向量,也可求出矩阵A.
例5 设３阶对称矩阵A的特征值为?1??1，?2??3?1．与?1??1对应的特征向量为p1???1,1,1?．求A.
解法1 设对应于?2??3?1的特征向量为p??x1,x2,x3?.则(p1,p)?0,（改用句点）故有
x1?x2?x3?0,（改用句点）
TT解这个方程组,得到它的一个基础解系,即对应于?2??3?1的两个线性无关的特征向量：
p2??1,1,0?,p3??1,0,1?.
TT将p2??1,1,0?,p3??1,0,1?正交化,得
??p2??1,1,0?,1TTT?2?p3?(?1,p3)(?1,?1)?1??1,0,1??TT12?1,1,0?T1??1??,?,1?2??2TT（第二行后面用句点）
再将p1???1,1,1?,?1??1,1,0?T1??1,?2??,?,1?单位化得
2??2 15