?1e1??,?5?25,?0?,?TT25??4e2??,,??,
35??3535?2e3??,?313,2??.3?T则所求的正交矩阵为
????P???????15250435235?5352??3?1??. 3?2??3?６．设 ?0? A??1?1?010?1?x. ?0??当x取何值时，矩阵A能对角化？
解 因为A的特征多项式为
??A??E?1101??01??01??201??01x?(1??)(1??), ??2x?1??x所以A的特征根为?1??1,?2??3?1.
对于?2??3?1,
??1?A??2E?A?E?1??1?0001??1??x?1????0?1??0000?1??x. ?0??0000??1, ?0??当x??1时,由于
??1? A??2E?A?E??1?1?1??10?1??1????0x?10x?0????????00?1??000??R(A?E)?2,n?R(A?E)?3?2?1,
即A的与二重特征根??1对应的线性无关的特征向量只有一个.所以,A只有两个线性无关的特征向量,故不能与对角矩阵相似.
当x??1时,由于
41
? A??2E?A??1?E?1??1?1??0?1???0?1?0?????1000??1?00 ,?0??0齐次线性方程组 (A?E)x?0的一个基础解系为
?1??0??????2?0,?3?1.
?????1??0?????从而，?2,?3为矩阵A的属于特征值??1的两个线性无关的特征向量.所以,A有三个线性无关的特征向量,因此A能对角矩阵化.
７．设３阶对称矩阵A的特征值为?1?1，?2??1，?3?0．对应于?1，?2的特征向量依次为p1??1,2,2?，p2??2,1,?2?．求A．
解 设对应于?3?0的特征向量为p3??x1,x2,x3?.则(p1,p3)?0,(p1,p3)?0,（改成句点）因此得到齐次线性方程组
?x1?2x2?2x3?0, ?2x?x?2x?0.23?1TTT由于
?1?2??0?2102??1???2???0????00??2?302??1???6?0????00??2102??1??2?0????00??010?2??2, ?0??T我们得到该方程组的一个基础解系,也即对应于?3?0的一个特征向量：p3??2,?2,1?.
将p1??1,2,2?,p2??2,1,?2?,p3??2,?2,1?单位化得
?122?e1??,,?,?333?2??21e2??,,??,
3??3321??2e3??,?,?.33??3TTTTTT因此,我们得到一个正交矩阵
???Q???????1323232313?232??3?2??, 3??1??3??1?T且QAQ?????1??.? 因此, 0?? 42
?1?A?Q0??0?0?100??T0Q?0????????????2313231323232313?232??3??12???03??0??1???3?013230?10??0???0???0??????1323232313?232??3?2??3??1??3?
??????????
132323??231323??10??3??20????3???20?????3?2??1?3??3??2????03????1??2??3??32?3???1?2?1??03?3??2???0??0122??2.?0??８．设３阶对称矩阵A的特征值为?1?6，?2??3?3．与?1?6对应的特征向量为
p1??1,1,1?．求A.
T解 设对应于?2??3?3的特征向量为p??x1,x2,x3?.则(p1,p)?0,即
x1?x2?x3?0,（改成句点）
T解这个方程组,得到该方程组的一个基础解系,即对应于?2??3?3的特征向量：
p2???1,1,0?,p3???1,0,1?.
TT将p2???1,1,0?,p3???1,0,1?正交化,得
??p2???1,1,0?,1TTT?2?p3?T(?1,p3)(?1,?1)?1???1,0,1??TT12??1,1,0?TT1??1???,?,1?2??2T
再将p1??1,1,1?,?1???1,1,0?1??1,?2???,?,1?单位化得
2??211??1e1??,,?,33??311??e2???,,0?,22??112??e3???,?,?.666??TTT
因此,我们得到一个正交矩阵
?1??3?1Q??3??1??3?121201??6?1???,
6?2??6?? 43
?6?T且QAQ????3??.因此, ?3???1??3?1??3??1??3?121201??6??61????06???0?2??6????0????0????3??????131216?1312161??3??0??2??6??6?A?Q0??0?0300??T0Q?3??030
3??111????26?333???433??11????0?????12622????1?112?6???0????666?6?? ９．设（１）?1，?2为n阶方阵A的特征值，且?1????6??3?6??3??6??331411??1.?4???2．
（２）x1，x2分别为对应于?1，?2的特征向量． 证明：x1?x2不是A的特征向量．
证明 设x1?x2是A的属于特征根?的特征向量,则
A(x1?x2)??(x1?x2)??x1??x2A(x1?x2)?Ax1?Ax2??1x1??2x2（加标点）
??x1??x2??1x1??2x2?(???1)x1?(???2)x2?0,
由于?1??2,x1与x2线性无关,故???1????1?0,从而?1??2,矛盾.故x1?x2不是A的特征向量.
１０．设?是n阶可逆方阵A的一个特征值，证明：
（1）A的特征值全不为0； （2）??1是A?1的特征值； （3）
A?是A的伴随矩阵A*的特征值．
证明 (1) 若有某个A的特征根?为零,则A?0,与A可逆矛盾.故A的特征值全不为0；
(2) 因为?是A的特征根,所以存在??0,使A????.从而
??AA??A????(A?),
?1?1?1即
44
A????.
?1?1故知??1是A?1的特征根.
(3) 因为?是A的特征根,所以存在??0,使A????.从而
AA??A??,
**即
A???(A?),?A??A**A??.
故知
?是A*的特征根.
１１．设A与B均为n阶正定矩阵，证明： （１）AT，A?1，A?都是正定矩阵； （２）A?B是正定矩阵．
证明 (1) A正定,则存在可逆矩阵P,使得（此题有点小问题，配套教材只介绍了对称正定矩阵的概念，对于一般矩阵的正定性没有涉及，而下面的证明也隐含着矩阵的对称性，建议将题目改成对称正定，且删掉对A的转置的对称正定性的证明）
PAP?E,?(PAP)?PAP?E.
TTTTT故知AT正定.又
PAP?E,?(PAP)TT?1?P?1A(P)?1T?1?P?1A(P)?E.
?1?1T令Q?(P?1)T,则QTAQ?E.故知A?1正定.再由A?1正定,及A?0,有
A?AA*?1?(AE)A(T?1AE).
从而A*正定.
(2) A与B均为n阶正定矩阵,则
?x?0,xAx?0,xBx?0?x(A?B)x?xAx?xBx?0.
TTTTT
从而A?B正定.
１２．证明：若n阶矩阵A可逆，则ATA是正定矩阵．
证明 矩阵A可逆，则(ATA)T?ATA,所以ATA是对称矩阵． ATA?ATEA,即ATA与单位矩阵合同,所以ATA是正定矩阵.
１３．设对称矩阵A的特征值为?1，?2，?，?n，且相应的规范正交特征向量为u1，
u2，?，un．证明
TTT??uu????uu A??1uu． 11222nnn证明 令Q?(u1,u2,?,un),则Q为正交矩阵,且
??1?TQAQ??????2????. ???n?因此,
45