为实对称矩阵A的全部特征值.
例3 试证:对称的正交矩阵的特征值是1或?1.
证明 设A为对称的正交矩阵, ?1,?2,?,?n为A的特征值,
A?A?A?A?A?E.
2T又由(b)有
A?Qdiag{?1,?2,?,?n}QQdiag{?1,?2,?,?n}Q2222?1?1?Qdiag{?1,?2,?,?n}Q222?1,
?diag{?1,?2,?,?n}?E??i??1,i?1,2,?,n.
例4 证明实对称矩阵正定的充要条件是它的特征值全为正数. 证明 设A为n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使得
Q?1AQ?diag{?1,?2,?,?n},
其中?1,?2,?,?n为A的特征值.作正交变换X?QY,其中（和教材保持一致，用x?Qy，下同）
X?(x1,x2,?,xn),Y?(y1,y2,?,yn),
TT则
XAX?(QY)A(QY)?Y(QAQ)Y?Ydiag{?1,?2,?,?n}Y,（用句点）
TTTTT故
A正定?XAX?0T（教材中正定性是通过正惯性指数定义的，(?X?0)而此等价条件正是教材中的定理3.5.2，故不宜用，建议改为：因此，二次型的标准形
222为λ1y1?λ2y2???λnyn. 由正定二次型的定义，矩阵A正定的充要条件是正惯性指
数等于n，即λ1,λ2,?,λn?0，也即矩阵A的特征值均大于零. ）
T ?Ydiag{?1,?2,?,?n}Y?0(?Y?0) (?Y?0)
222 ??1y1??2y2????nyn?0 ??1?0,?2?0,?,?n?0. 4) 利用(b)式将实对称矩阵A作和分解或乘积分解. 作和分解时,常将Q作列子块,将Q?1作行子块,有时也将对角阵分解为对角矩阵之和;
作乘积分解时,常将对角阵diag{?1,?2,?,?n}分解为两个或多个对角阵的乘积,且必
6
要时在其间插入乘积等于单位阵的乘积矩阵QQ?1.
例5 设A是n阶实对称矩阵, ?1,?2,?,?n是A的n个正交单位特征向量,对应的特征值为?1,?2,?,?n,试证:
A??TTT1?1?1??2?2?2????n?n?n.
证明 令Q?(?1,?2,?,?n),则Q为正交矩阵,且
????T1?A?Qdiag{??(??T2?1,?2,?,?n}Q?11,?2,?,?n)diag{?1,?2,?,??n}??,??????T?n???TTT1?1?1??2?2?2????n?n?n.不明显，建议改证为：
AQ?(A?1,A?2,?,A?n)?(?1α1,λ2α2,?,λn?n).
因此，
A?(??11α1,λ2α2,?,λn?n)Q?(?1α1,λ2α2,?,λT
n?n)Q?αT?1?? ?(?α?αT2?11,λ2α2,?,λn?n)?? ?????αT?n?
?αT?1?? ?(?α,?,λ?αT2?11,λ2α2n?n)?? ?????αT?n? ??TTT1α1α1?λ2α2α2???λn?nαn.
例6 设A为正定矩阵,证明存在可逆矩阵U,使得A?UTU. 证明 因为A为实对称矩阵,所以由(b)式，存在正交矩阵Q，使得
A?Qdiag{?1,?2,?,??1n}Q,（建议用转置不用逆）
7
由于A为正定矩阵, 故有?1?0,?2?0,?,?n?0.因此
A?Qdiag{?1,?2,?,?n}Q?Qdiag{?1,?2,?,?1?n}diag{?1,?2,?,?n}Q.?1
令
U?diag{?1,?2,?,?n}Q?1,
则
UT?(diag{?1,?2,?,TT?n}Q)?(Q)diag{?1,?2,?,?n}?1T?1T
?(Q)diag{?1,?2,?,?n}?Qdiag{?1,?2,?,?n}故
A?UU.
T
6. 怎样求矩阵及其相似标准形中的参数?（如何理解？）
答:矩阵相似标准形中的参数的求法:由于相似矩阵有相同的特征多项式,因此有相同的的特征值.因此,相似矩阵的行列式相等,相似矩阵有相同的迹.利用这些性质就可以确定矩阵及其相似标准形中的参数.（？）
?1?例7 A??2?3?3??1????x2与??2相似，求x，y． ????21?y????解 因为A与?相似,所以它们有相同的特征根,从而有相同的迹,即tr(A)?tr(?).因
2此,（最好用正体，即tr(A)?tr(?)）
x?2?y?3(1)(公式后加句点，公式号有对齐)
312x?4?43?4??8(x?2)???2y. ?8又因为相似矩阵的行列式相等,所以,
1A?232x22?010因此,我们有
4x?y?8?0(2)(公式后加句点，公式号有对齐)
解方程组
9?x?,??x?2?y?3,?5??（最好用文字叙述，不用?之类，显得正式些） ??4x?y?8?0,?y?4.?5?222例8 设二次型f?x1?x2?x3?2ax1x2?2x1x3?2bx2x3,经正交变换X?QY（同前，
22TT向量用小写，下同）后化为标准形f?y2?2y3,其中X?(x1,x2,x3),Y?(y1,y2,y3)为
8
三维列向量, Q为正交阵.求参数a,b.
解 二次型经正交变换前后的矩阵分别为
?1?A?a??1?a1b1??0??b,B?0????01??0100??0 ?2??由于B?Q?1AQ?QTAQ,B与A相似,从而它们有相同的特征多项式.即,
?E?A??E?B.
而
??1?E?A??a?1?a?1?b???3??(2?a?b)??(a?b),
32222??1?b??1??E?B?00000???3??2?,
32??10??2比较同次幂系数,得
2?a?b?2,(a?b)?0,?a?b?0.（此处中间有误，此外照例不用?）
222三、典型例题
拉格朗日配方法类似于中学代数中的配方法.如果二次型f?x1,x2,?,xn?中不含有平方项，而只含有交叉项时，应先利用平方差公式作辅助变换使其产生平方项，然后再利用完全平方公式进行配方．
例1 化二次型f?2x1x2?2x1x3?6x2x3为标准形,并求所用的满秩的线性变换的矩阵. 解： 因为二次型f中不含平方项,故先令
?x1?y1?y2,??x2?y1?y2, ?x?y,3?3将原二次型化成
f?2y1?2y2?4y1y3?8y2y3.
22此变换对应的变换矩阵为
9
?1?C1??1?0?1?100??0?. 1??再利用配方法，将变量y1,y2,y3的项依次配方, 得 f?2(y1?2y1y3?y3?y3)?2y2?8y2y32222（太长，
?2(y22222221?y3)?2(y2?4y2y3?4y3)?6y3?2(y1?y3)?2(y2?2y3)?6y3.再多一行，等号对齐）
令
?z?1?y1?y3,?z2?y2?2y3, ??z3?y3,或等价地
?y1?z1?z3,??y2?z2?2z3, ??y3?z3,则把f化为标准形f?2z2z221?22?6z3.此时，相应的变换矩阵为
?101?C??2?012???. ?001?? 因此，所作的满秩的线性变换为
?x1?y1?y2?(z1?z3)?(z2?2z3)?z1?z2?3z3,??x2?y1?y2?(z1?z3)?(z2?2z3)?z1?z2?z3, ??x3?y3?z3,且对应的变换矩阵为
?113?C???1?1?1???. ?001??上面变换矩阵也可以通过矩阵的乘法运算C?C1C2得到，即
?110??101??113?C???1?10???12????0???1?1?1??. ?001????001????001??易知, C??2?0.
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