??1?0A?Q?????00?????2?00???1??00T?Q?(u,u,?,u)?12n???????n??00?????2?00??0?(u,u,?,u)T 12n????n?
??1?0??(u1,u2,?,un)????0TT0????T?2?00??u1T??T0?u2???????T?n???un??u1T??T???u,?u,?,?u?u2?1122nn????????uT??n????(太宽了，建议?????1u1u1??2u2u2????nunun.每个等号占一行且对齐)
１４．设u1，u2，?，un是Rn中的规范正交向量组，且?1，?2，?，?n是任何实数，定义
TTT??uu??2??nunun． A??1uu1122（１）证明A是对称矩阵；
（２）证明?1，?2，?，?n是A的特征值．
TTTTT证明 (1) 因为A?(?1u1u1??2u2u2????nunun)
??1(u1u1)??2(u2u2)????n(unun)
TTTTTT
??1(u1)u1??2(u2)u2????n(un)un??1u1u??2u2u????nunuT1T2TnTTTTTTTTT
?A.所以A是对称矩阵；
TTT (2) 因为Aui?(?1u1u1??2u2u2????nunun)ui
??1u1u1ui??2u2u2ui????nununuiTTT ??1u1(u1,ui)??2u2(u2,ui)????nun(un,ui)
??iui,i?1,2,?,n.所以?1，?2，?，?n是A的特征值．
１５．设n阶方阵A的n个互异特征值为?1，?2，?，?n，与之对应的特征向量为?1,?2,?,?n．
（１）证明：对任意的n维列向量?，必存在一组数c1,c2,?,cn，使得
nA??k?cj?1j?j?j，
k其中k为正整数；
k（２）若令xk?A?，则xk?1?Axk．
证明 (1) 因为A的n个互异特征值?1，?2，?，?n对应的特征向量?1,?2,?,?n线性无关, 所以对任意的n维列向量?，必存在一组数c1,c2,?,cn，使得
n???c?jj?1j,（加句点）
从而，
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nnnjA??A?cj?j?j?1n?cj?1(A?j)?n?cj?1jj?j?j,n
A??A(A?)?A?cj?j?j?j?12?cj?1?j(A?j)??cj?1j?j?j,2
????nnk?1jnjA??A(Akk?1?)?A?cj?j?1?j??cj?1?k?1j(A?j)??cj?1j?j?j.
k(2) 令xk?Ak?，则
nnjxk?1?Ank?1??k?cj?1?k?1j?j??cj?1j?j(A?j)
k?A?cj?j?j?A(A?)?Axk.j?1k
修改意见：
一、 我的公式编辑器和各位的不相容，故公式中的问题请自行修改； 二、 公式中的计算推导我看得不细，请各位把关；
三、 请再次核实标点符号，尽量少用ppt语言； 四、 尽量和教材统一. 如“AX=b”统一成“Ax=b”，“AX=0”统一成“Ax=0”，方
程组解“X”统一成“x”；
五、 尽可能使语言精炼，少用“就将”、“就得到”等口语化语言，用数学转折词“则”
等替代；
六、 本章和前两章有点不同，从例题和总结上看，好像难度偏大一些.沃加了几个
简单例题，看成不？
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