?e1??0,?12T,1???,2?Te2??1,0,0?,?e3??0,?12,1??.2?T
则在正交变换
???x1?????x??2???x???3?????0121210001212????y1??????y2? ??y??3????22?5y3. 下,二次型的标准形为f?y12?2y2?2?当a??2时, A?0??0?03?20???2.对?1?1,由于 ?3??02?20??1???2?0???02???0100???1. ?0???1?A??1E?A?E?0??0?T齐次线性方程组 (A?E)x?0的基础解系为?1?(0,1,1). 从而得到A的属于特征值
?1?1的一个特征向量?1?(0,1,1)T.
对?2?2,由于
?0?A??2E?A?2E?0??0?01?20??0???2?0????01??1000??1. ?0??T齐次线性方程组 (A?2E)x?0的基础解系为?2?(1,0,0). 从而得到A的属于特征值
T?2?2的一个特征向量?2?(1,0,0).
对?3?5,由于
36
??3?A??3E?A?5E?0??0?0?2?20??1???2?0????0?2??0100??1. ?0??齐次线性方程组 (A?5E)x?0的基础解系为?3?(0,1,?1)T. 从而得到A的属于特征值
??5的一个特征向量?T33?(0,1,?1).
将上述三个两两正交的特征向量?1,?2,?3单位化,得
e?1?T1??0,1?2,2?,?e??1,0,0?T2,
Te?3??0,1???2,12?.?则在正交变换
????x010???1???x?2??101??y1????x22????y2???? ?3???1?0?1???y3??22??下,二次型的标准形为f?y22?5y21?2y23.
２０．判断下列二次型的正定性．
（１）f??2x221?6x22?4x3?2x1x2?2x2x3； 解
f??2x2221?6x2?4x3?2x1x2?2x2x3的矩阵为
??210?A???1?61???. ?01?4???21因为a11??2?0,a11a12?21a?6?11?0,A?1?621a?22101所以, f??2x2221?6x2?4x3?2x1x2?2x2x3为负定二次型.
（２）f?3x221?4x2?5x23?4x1x2?4x2x3
解
f?3x2221?4x2?5x3?4x1x2?4x2x3的矩阵为
01??42?0,?437
?3?A?2??0?24?2 0???2. ?5??3?8?0,A?2240?2?28?0, 因为a11?3?0,a11a12?32a21a22240?25所以, f?3x221?4x2?5x23?4x1x2?4x2x3为正定二次型.
２１．当t满足什么条件时，下列二次型是正定的？ （１）f?x21?4x22?2x23?2tx1x2?2x1x3；
解 f?x2221?4x2?2x3?2tx1x2?2x1x3的矩阵为
?1t1?A???t40???. ?102??由
1a12tt11?1?0,a11aaa?1?4?t2,A?t2122t4410根据定理3.5.3知,当
??4?t2?0, ??2t2?4?0,即当?2?t?2时,所给的二次型正定.
（２）f?x2?2y2?3z2?2xy?2xz?2tyz．
解 f?x2?2y2?3z2?2xy?2xz?2tyz的矩阵为
?11?1?A???12t???. ??1t3??故
11?11a11?1?0,a11a12a?112t?021a2212?1?0,A?1?1t30（改用句点）
根据配套教材中的定理3.5.3知,当
1?2t?t2?0,
即当?1?2?t??1?2时,所给的二次型正定.
Ｂ组
10??2t2?4, 21?11t?1?1?2t?t2,t?1238
１．设?1,?2,?,?s是一正交规范向量组，若x?c1?1?c2?2???cs?s，则
x2?c12?c2???cs2．
2证明 因为?1,?2,?,?s是一正交规范向量组,所以
?1,i?j, (?i,?j)???0,i?j.?x22?(x,x)?(c1?1?c2?2???cs?s,c1?1?c2?2???cs?s)2?c1(?1,?1)?c1c2(?1,?2)???c1cs(?1,?s)?c2c1(?2,?1)?c2(?2,?2)???c2cs(?2,?s)???csc1(?s,?1)?csc2(?s,?2)???cs(?s,?s)?c122?c22???cs.2
２．在定义内积x,y?xy的线性空间Rn中，对任意的n?n矩阵A，证明： （１）Ax,y?x,ATy； （２）ATAx,x?Ax2T．
证明 (1) Ax,y?(Ax)Ty?(xTAT)y?xT(ATy)?x,ATy; (2）AAx,x?(AAx)x?(xA(A))x?(xAA)x
?(xA)(Ax)?(Ax)(Ax)?(Ax,Ax)?AxTTT2TTTTTTTTT.
３．证明：如果一个n?n矩阵U，对所有属于Rn的向量x和y，满足 Ux,Uy?x,y，
那么U是一个正交矩阵．
证明 设U?(?1,?2,?,?n).取x?ei,y?ej(i,j?1,2,?,n),其中e1,e2,?,en为基本单位列向量组.则
?1,i?j,(?1,?j)?(Uei,Uej)?(ei,ej)??
0,i?j.?因此向量组?1,?2,?,?n为正交规范向量组,从而矩阵U为正交矩阵.
?2?４．已知A??0?0?0100??2??0与B?0????1?1??0110??1相似，求x． ?x??解 因为A与B相似,所以它们有相同的特征根,从而有相同的迹,即tr(A)?tr(B).因此, 2?1?1?2?1?x，即x??1.
?1?５．设A???2??4??2x?2?4??5???2与?????1????4??求x，y；并求一个正交矩阵P，?相似，
y??使得P?1AP??．
解 因为A与?相似,所以它们有相同的特征根,从而有相同的迹,即tr(A)?tr(?).因此,
x?2?y?1(1)（公式后加句点）
39
又因为相似矩阵的行列式相等,所以,
1A??2?4?2x?2?41?2x?4?10?4?10??15x?40????20y. ?15?2?010因此,我们有
3x?4y?8?0解方程组
(2)（公式后加句点,另外公式没有被引用，建议删掉
公式号，前同）
?x?2?y?1,?x?4, ????3x?4y?8?0,?y?5.对?1??2?5,由于
??1?4????2??0??0?4????1200?1??0?.（公式后用逗号） 0?????4?A??1E?A?5E??2???4??2?1?2TT齐次线性方程组 (A?5E)x?0的基础解系为?1?(1,?2,0),?2?(1,0,?1).将
?1??1,?2,0?,?2??1,0,?1?正交化,得 ???1??1,?2,0?,1TTT?2??2?(?1,?2)(?1,?1)?1??1,0,?1??T15?1,?2,0?T?42???,,?1??55?T（公式中第二行加句点）
对?3??4,由于
?5?A??3E?A?4E??2???4??28?2?4??1???2??4????05???4?20?11???5??0??0??0??010?1??1 ??.（公式后用逗号）
2?0??T齐次线性方程组 (A?4E)x?0的基础解系为?3?(2,1,2).
将上述三个两两正交的特征向量?1,?2,?3单位化,得
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