因此, 齐次线性方程组 (A?3E)x?0的一个基础解系为
?1??. ??1??2???1??1?显然, ?1???与?2???是是两个正交向量,将它们单位化,得
?1???1??1??1???22?,?2???1??1?1??????2?2???1?2令Q???1??2???12?,则QTAQ??1??0??2?0??1TQ?Q??3??03nn??? ???0?T?Q,（改用句点）因此， 3?10??1?,即 A?Q?3??0?1nA?Q??0?1?2???1??20?TQn?3??1?2???1??2??2?1??1??0??2?n1?3?.n?1?3?1?10??2?n?3??1??2??2?1???2?1??1??2?2?n3??1???2??2
?n?1?1?32???1?2?1?3n??2?1
（太宽了，建议加多一行，等号对齐）
１４．已知３阶方阵A的特征值为１，－１，２，设B（１）矩阵B的特征值及与矩阵B相似的对角矩阵； （２）B，A?5E．
??4??4,?6,?12.因此，与矩阵B相似的对角矩阵为??????A?5A32，试求：
解 (1) 由于B??(A)?A3?5A2,?(?)??3?5?2, 矩阵B的特征值为?(1),?(?1),?(2),即
?6????12??.
(2) B????4?(?6)?(?12)??288. B?A3?5A2?A
１５．写出下列二次型的矩阵，并求其秩．
222（１）f?8x1?7x2?3x3?6x1x2?4x1x3?2x2x3；
2A?5E?A?5E?BA2??28822??72.（分母用(?2)2）
（２）f?4x1x2?6x1x3?8x2x3．
222解 (1) f?8x1?7x2?3x3?6x1x2?4x1x3?2x2x3的矩阵为
26
?8?A??3??2??8?A??3??2??1?r???0??0??37?1?645112??r?1?????3???8??1??2??1?0??0??36?1?6145?37?12???1. ??3???8?1??2??1?0??0??3?6?1?6102??r4?????3???1?8??2??1?0??0??6?3?10104??2??3??0??0.?1??2??r?4?????3??
4??r?30?????11??4??r?1?????30??4??r?1????1??因此, 二次型f的秩为3.（只需化成行阶梯形） (2) f?4x1x2?6x1x3?8x2x3的矩阵为
?0?B?2??3??0?B?2??3??1?r???0??0?20?4?4223??0?r??4???2????10??4??r?3????3???1?0??0?20?4?42020?43???4. ?0???1?2??0??4024??r?4????3???1?0??0??4824???12?3??3??r?4????4??4???3.??6??
因此, 二次型f的秩为3.
１６．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆变换．
22（１）f?x1?4x1x2?3x2；
2222解 由于f?x1?4x1x2?3x2?(x1?2x2)?x2,
令
?y1?x1?2x2,?x1?y1?2y2, 即 ??x2,y2,?y2??x2?22则把f化成标准形f?y1?y2.所用变换矩阵为
?1C???0?2??1?(C?1?0).
222（２）f?2x1?5x2?2x3?6x1x2?4x1x3?10x2x3；
解
f?2x1?x??2(x1??2(x1?
2
x?xx?2由
22于
xx2?3x?32xx?5xx?x?xx?2xx?2x613232x?x)?x?x)?29212x?2x?6x2x?5x?10xx?2xx?4xx?2(x?232x?x)?2212(x?4x)3?8x.27
22（太长，加多一行，等号对齐） 令
33???y1?x1??2x2?x3,?x1?y1?y2?5y3,?y2?x2?4x3,即 ?2?x2?y2?4y3, ??y3?x3,??x3?y3,??则把f化成标准形f?2y2?12212y2?8y3. 所用变换矩阵为
??1?35?2?C???01?4??(C?1?0).
??001????
（３）f?8x1x2?4x1x3?4x2x3；
解 由于在f中不含平方项,但含有x1x2乘积项,故令
?x1?y1?y?2,?x2?y1?y2, ??x3?y3,即
?x??110??y?1?1??x2?10???????1??y2,（改用句点） ?x??3???001?????y?3?代入原二次型可得
f?8y2y21?82?8y2y3.
再配方,得
f?8y211?8(y2?2y3)2?2y23.
故令
?z1?y1,?y1?z1,???zy1? ?12?2?y3, 即?2?y2?z2??2z3,
??z3?y3,??y3?z3,或等价地
?y?100??1????z?y?2??01?11???z?2,
??y??2???3?????001?z???3?则有f?8z2z221?82?2z3. 所用的变换矩阵为
28
?10?10??1?1???110??2C???1?10???1??C??1?0).
???012????1?11??2?(?001?????001????001??????
（４）f?12x1x2?16x1x3?4x2x3．
解 由于在f中不含平方项,但含有x1x2乘积项,故令
?x1?y1?y2,??x2?y1?y2, ??x3?y3,即
?x??110??y?1??1??x2?10???????1?y?2, ?x?3???001??????y3?代入原二次型可得
f?12y221?12y2?20y1y3?12y2y3.
再配方,得
f?12(y52121621?6y3)?12(y2?2y3)?3y3.
故令
?5y??z1?y1?63,?y1?z51??6z3,??z1?2?y2??2y, 即 ??y132?z2??2z3, ?z3?y3,?y???3?z3,?或等价地
?0?5?y?1?6??1???y?2???01?1??z??1???2??z?2?,
?y?3???001?????z?3????则有f?12z221621?12z2?3z3.所用的变换矩阵为
??10?5???110??6??11?4??3??C???1?10??1?1???1?1????0?001???2????13?(C??1?0).
?001??01????0???????? 29
１７．求一个正交变换化下列二次型为标准形：
22（１）f?2x12?3x2?3x3?4x2x3；
?2?解 二次型的矩阵A?0??0?0320??2,它的特征多项式为 ?3??2??03??2023????(??1)(??2)(??5).
A??E?00因此,矩阵A的特征值?1?1,?2?2,?3?5.
对于?1?1,由于
?1?A??1E?A?E?0??0?0220??1??2?0????02??0100??1.（改用逗号） ?0??T齐次线性方程组 (A?E)x?0的基础解系为?1?(0,1,?1). 从而得到A的属于特征值
?1?1的一个特征向量?1?(0,1,?1)T.
对于?2?2,由于
?0?A??2E?A?2E?0??0?0120??0??2?0???01???1000??1.（改用逗号） ?0??T齐次线性方程组 (A?2E)x?0的一个基础解系为?2?(1,0,0),从而得到A的属于特征
T值?2?2的特征向量?3?(1,0,0).
对于?3?5,由于
??3?A??3E?A?5E?0??0?0?220??1??2?0????0?2??0100???1.（改用逗号） ?0??T齐次线性方程组 (A?5E)x?0的基础解系为?3?(0,1,1). 从而得到A的属于特征值
T?3?5的一个特征向量?3?(0,1,1).
将上述三个两两正交的特征向量?1,?2,?3单位化,得
30