?e1??0,?12T,1???,2?Te2??1,0,0?,?e3??0,?12,1??.2?T
则在正交变换
???010??x??1??1??y1??x??2????2012??y??2?x??? 3???11?????y?3??202??下,二次型的标准形为f?y221?2y2?5y23.
（２）f?x22221?x2?x3?x4?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4．
?110?1??解 二次型的矩阵为A??11?10????0?111?. 它的特征多项式为 ??1011??1??10?11??1??1??1??A??E?11???101???100?11??1?10?11??1?1011???1011??11111111?(1??)11???100?11???(1??)0???2?110?11??1?1011??0122?? 31
1?(1??)0001???1?101???11??3??111001013??112??11011?(??1)(??1)(3??)100011?1011100111??1011??010111011?(??1)(??1)(3??)000?(??1)(??1)(3??)000（最后一行
?(??1)(??1)(??3)2用句点）
因此,矩阵A的特征值?1??1,?2??3?1,?4?3.
对于?1??1,由于 ?2?1A??1E?A?E???0???1?1?1r1?12??????0???1?1?0r3?r4?????1r3??02??012?1011001?2101?12112?100?121?1??2??01r?r?r?r1234????????01???2???1?1?0??0??0?1?0??0??011?1111001?220001022?102?121?1?0??0??001002??0?1??2?110000101?202?1??1?.1??0?1???1?（最后0??2?1??02?r1??r???r4?r1?1?2?1???13?r2??r???r4?r2?1?1?0??11?r2??r???1??0??1?0??0??01???12?2r3??r???r1?r31??0?一行用逗号）
T齐次线性方程组 (A?E)x?0的基础解系为?1?(1,?1,?1,,1,). 从而得到A的属于特征
T值?1??1的一个特征向量?1?(1,?1,?1,,1,).
对于?2??3?1,由于
?0?1?A??2E?A?E??0???110?100?101?1??1??00r2?r1???????r4?r1,r3?r2?01???0??00100?10000???1?.（改用逗号） 0??0?齐次线性方程组 (A?E)x?0的一个基础解系为
32
?2?(0,1,0,1),?3?(1,0,1,0),（用句点）
TT从而，得到A的属于特征值?2??3?1的两个正交的特征向量
?2?(0,1,0,1),?3?(1,0,1,0).
TT对于?4?3,由于 ??2?1?A??4E?A?3E??0???1?1?0r2?2r1?????r4?r1?0??0?2?3?1?2?1?2?20?2100010000101?2?100?1?21?1??01?r2??r???1???2??1?0??0??0?1?0??0??0?2?3?11?2100?1??2??0???1?1?2?20?1010?21?100???1?1??1?0??1??1??0??10?210???1?1???2?0??1r4?(?)?12?????1???2??10?2?21??1?.?1??0??1?0r2?r4??r????3?r2,r4?3r2?0??0?1?0r1?r3?2r2???????0??00??1r4?r3??????1r?(?)?322?2?（最后一行改用逗
号）
T齐次线性方程组 (A?3E)x?0的基础解系为?4?(1,1,?1,?1). 从而得到A的属于特征
T值?4?3的一个特征向量?4?(1,1,?1,?1).
将上述四个两两正交的特征向量?1,?2,?3,?4单位化,得
?1e1??,?2?e3??0,??1212,?12,1??1,e?,2??2??21??1,e?4?,?2??2TT0,1212?,,?0?,??1??.2?TT
,0,12,则在正交变换
33
?1?2??x1??1????x?2???2?x3??1?????x4??2?1??21201200120121??2?1???2???1????2???1???2?y1??y2? y2??y4?222下,二次型的标准形为f??y12?y2?y3?3y4.
１８．求一个正交变换将二次曲面的方程
3x2?5y2?5z2?4xy?4x?z1 0y?z1化成标准方程，并判定二次曲面的类型．
解 作二次型f?3x2?5y2?5z2?4xy?4xz?10yz. 它的矩阵为
?3?A?2???2?25?5?2???5. ?5??因为
3??A??E?2?23?????2025??125???5?2?5???1?2?55??3??20?3??20410??025?????2?51?2?5??,
???(??2)(??11)所以A的特征值?1?0,?2?2,?3?11.因此,可利用正交变换将此二次型化为标准形
f?2y??11z?. 而曲面2y??11z??1在R3中表示椭圆柱面,所以f(x,y,z)?1表示椭
2222圆柱面.
１９．已知二次型f?x1,x2,x3??2x1?3x2?3x3?2ax2x3?a?0?通过正交变换化为
222222标准形f?y1?2y2?5y3，求参数a及所用的正交变换．
解 二次型f?x1,x2,x3??2x1?3x2?3x3?2ax2x3的矩阵为
222?2?A?0??0?03a0??a. ?3??因为
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2??A??E?00?2?而A?0??0?03a03??a0a3???(2??)(??6??9?a).（改用逗号）
220??a的特征根为?1?1,?2?2,?3?5,所以, ?3????6??9?a?(??1)(??5)???6??5
222 9?a2?5,a??2. ?2?当a?2时, A?0??0?0320??2.对?1?1. 由于 ?3??0220??1??2?0????02??0100??1.（改用逗号） ?0???1?A??1E?A?E?0??0?T齐次线性方程组 (A?E)x?0的基础解系为?1?(0,1,?1). 从而，得到A的属于特征值
?1?1的一个特征向量?1?(0,1,?1)T.
对?2?2,由于
?0?A??2E?A?2E?0??0?0120??0??2?0????01??1000??1.（改用逗号） ?0??T齐次线性方程组 (A?2E)x?0的基础解系为?2?(1,0,0). 从而，得到A的属于特征值
T?2?2的一个特征向量?2?(1,0,0).
对?3?5,由于
??3?A??3E?A?5E?0??0?0?220??1??2?0????0?2??0100???1.（改用逗号） ?0??T齐次线性方程组 (A?5E)x?0的基础解系为?3?(0,1,1). 从而，得到A的属于特征值
T?3?5的一个特征向量?3?(0,1,1).
将上述三个两两正交的特征向量?1,?2,?3单位化,得
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