则有??x???1a??x??x?ay?， ??????????y???b0??y??bx??x??x?ay,即? 1分
?y?bx.?P?(x?,y?)在直线l?:x?2y?1?0上，
所以x?ay?2bx?1?0，
即(2b?1)x?ay?1?0， 2
所以 ??2b?1??1,
?a??1,?1?1??， ?10??所以a?b??1． 4分 （2）由（1）知矩阵A＝?特征矩阵为????11??． 5分
?1??特征多项式为f(?)???11??2???1，
1?1?51?5，?2?， 7分 22令f(?)?0，解得矩阵A的特征值?1＝考点：矩阵的变换、特征矩阵、特征多项式、特征值．
??1a?所对应的变换把直线
105．矩阵与变换： 已知a，b∈R，若M??L:2x?y?3 TM??b3?变换为自身，求实数a,b，并求M的逆矩阵．
?3?1?M?1???4?1?? 【答案】a?1,b??4,【解析】
试题分析：根据矩阵乘法求变换：设P(x,y)为直线2x?y?3上任意一点其在M的作
??1a??x???x?ay??x???x???x?ay????????????????ybx?3yb3(x,y)??y??y?bx?3y代入????用下变为则?2x?y?3得：?(b?2)x?(2a?3)y?3其与2x?y?3完全一样得
??b?2?2?b??4??11??3?1??1?M?M???????2a?3??1a?1?434?1??则?? ??则矩阵
试卷第46页，总61页
??解：设P(x,y)为直线2x?y?3上任意一点其在M的作用下变为(x,y)
??1a??x???x?ay??x???x???x?ay??????????????b3??y??bx?3y??y??y?bx?3y 则?代入2x?y?3得：?(b?2)x?(2a?3)y?3 3分
??b?2?2?b??4???2a?3??12x?y?3?a?1 其与完全一样得???11?M????43?? 6分 则矩阵M则
?1?3?1?????4?1? 10分
考点：矩阵变换，逆矩阵
?21?106．（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵A???12??.
???1（I）求矩阵A；
（II）求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【答案】（I）参考解析;（II）参考解析
【解析】
?1试题分析：（I）由于A?2?2?1?1?3?0,所以矩阵A的逆矩阵及矩阵A,可根据
?1?1逆矩阵的公式求得矩阵A.
（II）求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量,由矩阵A的特征多项式为f(?)??1?1??2?1 ??2?4??3?(??1)(??3).即可得到两个特征值,再根据?1??2?1特征值与特征向量间的关系即可得到结论.
?1试题解析：（I）因为矩阵A是矩阵A的逆矩阵,且A?2?2?1?1?3?0,所以
3??2??1?2?1??3A?? ??? ?.
3??12??12?????33?（II）矩阵A的特征多项式为f(?)??1??2?1 ??2?4??3?(??1)(??3),令?1??2?1?f(?)?0,得矩阵A的特征值为?1?1或?2?3,所以?1???是矩阵A?1的属于特
??1??1试卷第47页，总61页
征值?1?1的一个特征向量. ?2???是矩阵A的属于特征值?2?3的一个特征向量.
考点：1.逆矩阵.2.特征至于特征向量. ??0107．已知矩阵A???1??1?3?求点M??1,1?在矩阵A?1对应的变换作用下得到的点M?坐?，2??3???1??1??1标．
【答案】M'(?1,?3) 【解析】
?1?1试题分析：利用逆矩阵的定义AA?E，求出A，然后再利用矩阵运算可求M'坐
标为A?1???1?. ??1??0?AA?1???1??1?3??ab??10?????01?2??cd?????3??设
?ab?A?1????cd?1,d?3，则，所以
1c?1320a?,3c?2，0b?解,3得d?a?12,b?1,c?3,d?0，即
?21?A?1???． 5分
?30??21???1???1?由???1????3?，知点M???1,?3?， 30??????所以新坐标为M???1,?3?． 10分 考点：矩阵的运算.
?2 3?108．已知直线l:ax?y?1在矩阵A???对应的变换作用下变为直线0 1??l?:x?by?1.
（1）求实数a，b的值；
（2）若点P(x0，y0)在直线l上，且A??x0??x0?????，求点P的坐标． ?y0??y0?【答案】（1）a?2,b??2;（2）P(,?). 【解析】
试题分析：（1）根据题意这实际上一道矩阵变换的题目，可在直线l上任一点(x,y)在
3515试卷第48页，总61页
?2 3??x??x??矩阵A对应的变换下得点(x?,y?)，由公式可得：则???y???y??，代入直线l?，得0 1???????2 3??x0??x0?2x?(b?3)y?1，即可求解;（2）根据矩阵运算公式易得： ???y???y?，即可
0 1???0??0?解得．
（1）设直线l上一点(x,y)在矩阵A对应的变换下得点(x?,y?)，
?2 3??x??x???x??2x?3y则?，代入直线l?，得2x?(b?3)y?，1??????????0 1yyy?y????????a?2,b??2； 5分
（2）
点P(x0,y0)在直线l上，?2x0?y0?1，
3?x?0??x0?2x0?3y0?2 3??x0??x0??5，P(3,?1). 10
?由?，得，??????y??y?0 1y?y155???0??0?0?0?y??0?5?分
考点：1.矩阵的运算;2.矩阵与变换 109．选修4—2：矩阵与变换
二阶矩阵M有特征值??8，其对应的一个特征向量e=??，并且矩阵M对应的变换将点(?1,2)
变换成点(?2,4)，求矩阵M．
?1??1?【答案】??62?? 44???ab??ab??1??1??a?b??8?，则由=8??得?=??，即a+b=c+d=8． 2???????cd??cd??1??1??c?d??8?【解析】设M=?分
?ab???1???2???a?2b???2?由???2?=?4?，得??c?2d???4?，从而－a+2b=－2，－c+2d=4． 5
cd??????????分
由a+b =8及－a+2b=－2，解得a=6，b=2； 由c+d =8及－c+2d=4，解得c=4，b=4. 所以M=??62?. 10分 ??44?【命题意图】本题考查矩阵特征值及特征向量、矩阵的乘法等知识 ，意在考查运算求解能力.
试卷第49页，总61页
110．设矩阵M=（其中a＞0，b＞0）．
－1
（1）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M；
（2）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：，
求a，b的值． 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）设矩阵M的逆矩阵，则又M=，所以=，
所以,即,
故所求的逆矩阵
（2）设曲线C上任意一点P(x,y)， 它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点，
则
=
,即
又点在曲线C′上，所以,
则为曲线C的方程，
又已知曲线C的方程为,故
又a＞0，b＞0，所以
试卷第50页，总61页