第一部分 集合与函数
1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.
[举例1]已知集P?{y|y?x,x?R},Q?{y|y?2,x?R}，求P?Q.
分析：集合P、Q分别表示函数y?x与y?2在定义域R上的值域，所以P?[0,??)，Q?(0,??)，
2x2xP?Q?(0,??).
(x?P)?x[举例2]函数f(x)??，其中P、M是实数集R的两个非空子集，又规定：
?x(x?M)?F(P)?{y|y?f(x)?,xP},F(?M){?y|y.给出下列四个判断： f?(x)xM（1）若P?M??，则F(P)?F(M)??；（2）若P?M??，则F(P)?F(M)??； （3）若P?M?R,则F(P)?F(M)?R；（4）若P?M?R,则F(P)?F(M)?R. 其中正确的判断有----------------------------------------------------------------------------------（ ） A、1个； B、2个； C、3个； D、4个.
分析：这是一道比较难的题，涉及到函数的概念，集合的意义.F(P)是函数y?x(x?P)的值域，F(M)是函数、（3）不正确.由函数的定义可知，函数定义域内的任y??x(x?M)的值域.取P?[0,??)，M?(??,0)可知（1）
意一个值只能与一个函数值对应，所以若P?M??，只能是P?M?{0}，此时F(P)?F(M)?{0}，（2）正确.对于命题（4）：设a?P?M,则a?P且a?M，若a?0，显然有0?F(P)且0?F(M)，所以有
F(P)?F(M)?；若a?0，由a?P则a?F(P)，由a?M，则?a?F(M).若有a?F(M)，则?a?M，R所以?a?P，则?a?F(P)，所以?a?F(P)?F(M)，则F(P)?F(M)?R.同理可证，若?a?F(P)，则有a?F(P)?F(M).（4）也正确，选B.
2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. [举例]若A?{x|x2?a},B?{x|x?2}且A?B??，求a的取值范围.
a,a)，若
分析：集合A有可能是空集.当a?0时，A??，此时A?B??成立；当a?0时，A?(?A?B??，则a?2，有0?a?4.综上知，a?4.
注意：在集合运算时要注意学会转化A?B?A?A?B等.
3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若A?B，则x?A是x?B的充分条件；若A?B，则x?A是x?B的必要条件；若A?B且A?B即A?B，则x?A是x?B的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.
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充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲?乙）”与“甲的充分条件是乙（乙?甲）”，是两种不同形式的问题. ［举例］设有集合M?{(x,y)|x2?y2?2},N?{(x,y)|y?x?2}，则点P?M的＿＿＿＿＿＿＿条件是点
P?N；点P?M是点P?N的＿＿＿＿＿＿＿条件.
分析：集合M是圆x要、必要不充分）
4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.
［举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿（填真或假）命题.
5、若函数y?f(x)的图像关于直线x?a对称，则有f(a?x)?f(a?x)或f(2a?x)?f(x)等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数y?f(x)的图像关于直线x?a的对称曲线是函数y?f(2a?x)的图像，函数y?f(x)的图像关于点(a,b)的对称曲线是函数y?2b?f(2a?x)的图像. [举例1]若函数y?f(x?1)是偶函数，则y?f(x)的图像关于＿＿＿＿＿＿对称.
分析：由y?f(x?1)是偶函数，则有f(?x?1)?f(x?1)，即f(?1?x)?f(?1?x)，所以函数y?f(x)的图像关于直线x??1对称.或函数y?f(x?1)的图像是由函数y?f(x)的图像向右平移一个单位而得到的，
2?y2?2外的所有点的集合，N是直线y?x?2上方的点的集合.显然有N?M.（充分不必
y?f(x?1)的图像关于y轴对称，故函数y?f(x)的图像关于直线x??1对称.
[举例2]若函数y?f(x)满足对于任意的x?R有f(2?x)?f(2?x)，且当x?2时f(x)?x时f(x)?＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：由f(2?x)?f(2?x)知，函数y?f(x)的图像关于直线x?2对称，因而有f(x)?f(4?x)成立.x?2，则4?x?2，所以f(x)?f(4?x)?(4?x)22?(4?x).即x?2时f(x)?x?9x?20.
2?x，则当x?26、若函数y?f(x)满足：f(x?a)?f(x?a)(a?0)则f(x)是以2a为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数y?f(x)满足：f(x?a)??f(x)(a?0)则f(x)是以2a为周期的函数.（注意：若函数f(x)满足
f(x?a)??1f(x)，则f(x)也是周期函数）
［举例］已知函数y?f(x)满足：对于任意的x?R有f(x?1)??f(x)成立，且当x?[0,2)时，f(x)?2x?1，则f(1)?f(2)?f(3)???f(2006)?＿＿＿＿＿＿.
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分析：由f(x?1)??f(x)知：f(x?2)?f[(x?1)?1]??f(x?1)?f(x)，所以函数y?f(x)是以2为周期的周期函数.f(2006)?f(2004)????f(2)?f(0)??1，
f(2005)?f(2003)????f(3)?f(1)?1，故意原式值为0.
7、奇函数对定义域内的任意x满足f(?x)?f(x)?0；偶函数对定义域内的任意x满足f(?x)?f(x)?0.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数y?f(x)是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若y?f(x)是奇函数且f(0)存在，则f(0)?0；反之不然.
［举例1］若函数f(x)?12?1x?a是奇函数，则实数a?＿＿＿＿＿＿＿；
12分析：注意到f(0)有意义，必有f(0)?0，代入得a?[举例2]若函数f(x)?ax＿＿＿＿.
2.这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍.
?(b?2)x?3是定义在区间[2a?1,2?a]上的偶函数，则此函数的值域是＿＿＿＿＿＿
分析：函数是偶函数，必有(2a?1)?(2?a)?0，得a??1；又由y?f(x)是偶函数，因而b?2.即
f(x)??x?3(x?[?3,3]，所以此函数的值域为[?6,3].
8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数y?f(x)的图像关于直线x?a对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.
［举例］若函数y?f(x)是定义在区间[?3,3]上的偶函数，且在[?3,0]上单调递增，若实数a满足：
2f(2a?1)?f(a)，求a的取值范围.
分析：因为y?f(x)是偶函数，f(2a?1)?f(a)等价于不等式f(|2a?1|)?f(a)，又此函数在[?3,0]上递增，则在[0,3]递减.所以3?|2a?1|?a，解得?1?a??1?22222.
9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数y?f(x)的图像，作出函数（注意：图像变换的本质在于变量对应关y?f(?x),y?f(|x|),y?|f(x)|,y?f(x?a),y?f(x)?a的图像.系的变换）；要特别关注y?f(|x|),y?|f(x)|的图像. ［举例］函数f(x)?|log2|2x?1|?1|的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
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分析：函数f(x)?|log2|2x?1|?1|的图像是由函数y?log12（或将函数y?log2先将函数y?logx的图像经过下列变换得到的：
2x的图像上各点的横坐标缩短到原来的再将函数y?log平移
2得到函数y?logx的图像向上平移1个单位）
22x的图像，
22x的图像作关于y轴对称得到函数y?log2|2x|的图像，再将函数y?log2|2x|的图像向右
12个单位，得到函数y?log2|2x?1|的图像，再将函数y?log2|2x?1|的图像向下平移1个单位得到函数
y?log2|2x?1|?1，最后将函数y?log2|2x?1|?1的图像在x轴下方部分翻折到x轴上方得到函数
（尤其是与x轴的交点不要搞错），f(x)?|log2|2x?1|?1|的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化从图像上可以看出此函数的单调递增区间是[?12,1)与[32,??).
需要注意的是：函数图像变化过程：y?f(x)?y?f(|x|)?y?f(|x?a|)与变化过程：而后者是先平移后再作关于直y?f(x)?y?f(x?a)?y?f(|x?a|)不同.前者是先作关于y轴对称后平移，线x?a对称.
10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等. ［举例1］已知函数f(x)?是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：不等式f(x)?g(x)的解集不为空集，亦即函数y?f(x)的图像上有点在函数y?g(x)的图像的上方.
2x?1,g(x)?ax?1，若不等式f(x)?g(x)的解集不为空集，则实数a的取值范围
y 函数f(x)?2x?1的图像是x轴上方的半
1 支抛物线，函数g(x)?ax?1的图像是过点
O 1 x 2?1.（注意图中的虚线也满足题义）
l1 (0,1)斜率为a的直线.当a?[举例2]若曲线y分析：曲线y2222?1时直线与抛物线相切，由图像知：a??|x|?1与直线y?kx?b没有公共点，则k,b应当满足的条件是 .
2?|x|?1是由y?x?1(x?0)与y2??x?1(x?0)组成，它们与y轴的交点为(0,1)和(0,?1)，
y 图像如图（实线部分）.可以看出 若直线y?kx?b曲线y2?|x|?1的图像没有公共点，此 1 -1 O x 直线必与x轴平行，所以k?0，?1?b?1.
11、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点. 一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x轴的直线与图像至多有
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一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？ ［举例］函数f(x)?x＿＿＿＿＿.
分析：由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应，平行于x轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数f(x)?x22（x?[0,1]?[3,4]），若此函数存在反函数，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿?2ax?1，
?2ax?1图像的对称轴为直线x?a知：a?0或a?4必存在反函数，0?a?1或
3?a?4必不存在反函数.当a?[1,3]时如何讨论？注意到函数在区间[0,1]上递减，在[3,4]上递增，所以只要
f(4)?f(1)或f(3)?f(0)即可.亦即
52?a?3或1?a?32.综上知，实数a的取值范围是(??,0]?
35[1,)?(,3]?[4,??). 2212、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.
［举例］函数f(x)?log分析：令y?log22(x2?2x?2),(x?(??,?2])的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
2y2y?(x?1)?2?1.因为x??2，所以x?1??1，则
2(x?2x?2)，则x?2x?2?22yx?1??2y?1，x??1??1.又原函数的值域为[1,??)，所以原函数的反函数为
f?1(x)??1?xx2?1(x?1).（若是从反函数表达式得2?1?0求得x?0就不是反函数的定义域）.
13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线y?x对称；若函数y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A,b?C,则有
?1?1f(f(b))?b,f(f(a))?a.b?f(a)?a?f?1?1(b).需要特别注意一些复合函数的反函数问题.如
y?f(2x)反函数不是y?f(2x).
?1［举例1］已知函数y?f(x)的反函数是y?f＿＿＿.
(x)，则函数y?2f?1(3x?4)的反函数的表达式是＿＿＿＿＿＿
分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用y表示x,然后将x,y互换即得反函数的表达式.由y?2f?1(3x?4)可得
f?1(3x?4)?y2?3x?4?f(y2)?x?13[f(y2)?4].所以函数y?2f?1(3x?4)的反函数为
y?1x[f()?4]. 32第 5 页 共 47 页