正周期为?；最大值为2；单调递增区间满足2x?5?6?[2k??5?6)?12?2，
，2k???2](k?Z)，即
[k??2?3,k???6](k?Z)；由f(x)?1，则si2nx?(2x?5?6?2k???6或
2x?5?6?2k??5?6得x?k???3或x?k?(k?Z)，又由x?[0,2?]得解集为{ 注意：辅助角?的应用：asinx?bcosx?2?5?,,0,?,2?}. 33b22a?bsin(x??).其中tan??，且角?所在的象限与点
a(a,b)所在象限一致.
26、当自变量x的取值受限制时，求函数y?Asin(?x??)的值域，应先确定?x??的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定sin(?x??)的取值范围，并注意A的正负；千万不能把x取值范围的两端点代入表达式求得.
( x ) ?2 sinx ?［举例］已知函数 f x (sin x ? cos x ), ? 0 , ? ， 求f(x)的最大值与最小值
?2?分析：函数f(x)?2sin2???x?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x?2sin(x??4)?1.由x?[0,?]，则
x??4?[??3?4,4]，sin(x??4)?[?22,1]，所以函数f(x)的最大 、最小值分别为2?1与0.
27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关a,b,c的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道△ABC三边a,b,c平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为
asinA?bsinB?csinC?2R（其中R是△ABC外接圆半径.
2［举例］在△ABC中，a,b,c分别是?A,?B,?C对边的长.已知a,b,c成等比数列，且a的大小及
?c2?ac?bc，求?AbsinBc的值.
2分析：由a,b,c成等比数列得b?ac，则a?c22?ac?bc化成b?c?a?bc，由余弦定理得abbsinBcasinBb222cosA?b?c?a2bc222?12，?A??3.由b2?ac得
bc?，所以=?sinA?sin?3?32.
28、在△ABC中：a?b?A?B?sinA?sinB；sin(B?C)?sinA，cos(B?C)?
?cosA，cos且仅当B?B?C2?sinA2，sinB?C2?cosA2等常用的结论须记住.三角形三内角A、B、C成等差数列，当
?3.
［举例1］（1）已知△ABC三边a,b,c成等差数列，求B的范围；（2）已知△ABC三边a,b,c成等比数列，求角B的取值范围.
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分析：（1）由△ABC的三边a,b,c成等差数列，则2b?a?c，cosB?a?c?b2ac222，消去b化得
cosB?3(a?c)8ac22?14?6ac8ac?14?12.所以B?(0,?3].
（2）同样可以求得B?(0,?3［举例2］在△ABC中，若2cosBsinA?sinC，则△ABC的形状一定是――――（ ）
A、等腰直角三角形； B、直角三角形； C、等腰三角形； D、等边三角形. 分析：在三角形
ABC
中：siCn?sinA?(B)?siAncoBs?coAssiBn?2coBssiAn，则
].
siAncoBs?coAssiBn?0?sinA?(B)?0?A?B.所以△ABC是等腰三角形.
［举例3］△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知a,b,c成等比数列，且cosB?（1）求ctgA?ctgC的值；（2）设BA?BC?分析：（1）先切化弦：ctgA?ctgC?34.
32cosAsinA，求a?c的值.
?cosCsinC?sin(A?C)sinAsinC?sinBsinAsinC.由a,b,c成等比，
b?ac?sin22B?sinAsinC，所以ctg?Actg?C1siBn.由cosB?34得sinB?74，则
ctg?Actg?C477.
s?（2）注意到BA?BC?accoB34ac?32，所以ac?2，则b2222?2.又由余弦定理得：
b?a?c?2accosB，得a?c22222?5，(a?c)?a?2ac?c?9，所以a?c?3.
29、sinx?cosx,sinx?cosx,sinxcosx这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握它们之间的关系式：(sinx?cosx)?1?2sinxcosx.求值时能根据角的范围进行正确的取舍.
［举例1］已知关于x的方程sin2x?a(sinx?cosx)?2?0有实数根，求实数a的取值范围.
222n?coxs?t，则?sinx?2sixncoxs?cosx?1?si2nx，令six2xn?coxs)分析：由(si2si2nx?t?1，其中t?[?2,2].则关于t的方程t?at?1?0在t?[?2,22]上有解.注意到方程
2t?at?1?0两根之积为1，若有实根必有一根在[?1,1]内，只要△?0即可，得a?2或a??2.
［举例2］已知??(0,?),且sin??cos???15，则tg??＿＿＿＿＿.
分析：此类问题经常出现在各类考试中，而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象限，对函数值进行正确的取舍.由
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sin??cos???15平方得2sin?cos???.
2425?0，又由??(0,?)知??(4925，
得
?2,?).则有
75.
有
si?n?0,co?s?0(sin??cos?)，所以tg???2?1?2sin?cos??s?i?nco??ssin??35,cos???4534.
30、正（余）弦函数图像的对称轴是平行于y轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期.
函数y?tgx,y?ctgx的图像没有对称轴，它们的对称中心为(周期.
［举例1］已知函数f(x)?sin2x，且f(x?t)是偶函数，则满足条件的最小正数t?＿＿；
分析：f(x?t)?sin(2x?2t)是偶函数，则x?0是它图像的一条对称轴.x?0时，函数取最大（小）值.sin2t??1，
k?2,0),k?Z.两相邻对称轴之间的距离也是半个
2t?k???2(k?Z).所以满足条件的最小正数t??4.
［举例2］若函数f(x)?asinx?cosx的图像关于点(??3,0)成中心对称，则a?＿＿＿.
分析：由f(x)?asinx?cosx的图像关于点(??3,0)成中心对称知f(??3)?0，a?33.
第四部分 复数
31、复数问题实数化时，设复数z?a?bi，不要忘记条件a,b?R.两复数z1?a?bi，
z2?c?di,(a,b,c,d?R)，z1?z2的条件是a?c,b?d.这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经常作
实数化处理.
［举例］若复数z满足：z?z?(z?z)i?3?i2?i，则z?＿＿＿＿＿.
22?a?b?11322i. 分析：设z?a?bi(a,b?R)，原式化为a?b?2ai?1?i，得?，求得z???222a??1?32、实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断. ［举例］若方程x2?bx?2?0(b?R)的两根?,?满足|???|?2，求实数b的值.
222分析：在复数范围内|???|?(???)不一定成立，但|(???)|?|???|一定成立.对于二次方程，韦达定理
2在复数范围内是成立的.???????b????2，|(???)2|?|b?8|?4，则b?4或b222?12，所以b??2或
b??23.
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33、|z1?z2|的几何意义是复平面上z1,z2对应点之间的距离，|z?z0|?r的几何意义是复平面上以z0对应点为圆心，
r为半径的圆.
［举例］若|z?2i|?|z?z0|?4表示的动点的轨迹是椭圆，则|z0|的取值范围是＿＿＿.
分析：首先要理解数学符号的意义：|z?2i|?|z?z0|?4表示复数z对应的动点到复数2i与z0对应的两定点之间的距离之和等于4.而根据椭圆的定义知，两定点之间的距离要小于定值4，所以有|z0?2i|?4，而此式又表示z0对应的点在以2i对应点为圆心，4为半径的圆内，由模的几何意义知|z0|?[0,6).
34、对于复数z，有下列常见性质：（1）z为实数的充要条件是z?z；（2）z为纯虚数的充要条件是z?z?0且z?0；（3）z?z?|z|；（4）|z1z2|?|z1||z2|. ［举例］设复数z满足：（1）z?24z?R,（2）|z?2|?2，求复数z.
分析：由z?4z?R,则z?4z?z?4z?(z?z)(|z|?4)?0?z?z或|z|?2.当z?z时，则z?R，由
2；当|z|?2时，可求得z?1?|z?2|?2得z?4或z?0（舍去）
第五部分 数列与极限
35、等差数列{an}中，通项an?dn?b，前n项和Sn?3i.综上知：z?4,z?1?3i.
d22n?cn（d为公差，n?N）.证明某数列是等差（比）
数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：an?1?an是常数(n?N)(
an?1an=常数，n?N)，也可以证明
连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数n有：an?2?an?1?an?1?an（
an?2an?1?an?1an）.
［举例］数列{an}满足：a1?1,an?1?2anan?2(n?N).
（1）求证：数列{1an}是等差数列；（2）求{an}的通项公式.
分析：注意是到证明数列{1an1}是等差数列，则要证明
1an?1?1an是常数.而
1an?1?an?22an，所以
1an?1?1an?12.即
数列{1an}是等差数列.又
a1?1，则
1an?1?12(n?1)?n?12，所以an?2n?1.
36、等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n项的积、次n项的积、再后n项的积仍成等比数列.
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［举例1］已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，S4?8,S8?20，则S12?＿；
分析：注意到S4,S8?S4,S12?S8是等差数列的连续4项的和，它们成等差数列.可以得到S12?S8?16，所以
S12?36.
［举例2］已知数列{an}是等比数列，Tn是其前n项的积，T4?5,T8?20，则T12?＿.
分析：由T4,T8T12T82T3T成等比，则(,)?T4?12，所以T12?(8)?64.
T4T8T4T8T437、在等差数列{an}中，若m?n?p?q(m,n,p,q?N)，则am?an?ap?aq；在等比数列{an}中，若
m?n?p?q(m,n,p,q?N)，则am?an?ap?aq等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质.
［举例］数列{an}是等比数列，a4?a7??512,a3?a8?124，且公比q为整数，则a10的值为＿＿＿＿＿＿＿.
?a3?a8?124?a3?128?a3??4?a3??4??分析：由a4?a7?a3?a8得?或?，又此数列的公比为整数，所以?a?128a?a??512a??4?8?a8?128?38?8公比q??2，则a10?a8q2?512.
38、等差数列当首项a1?0且公差d?0，前n项和存在最大值.当首项a1?0且公差d?0，前n项和存在最小值.求
?an?0(?0)等差数列前n项和的最值可以利用不等式组?来确定n的值；也可以利用等差数列的前n项的和是n的二
a?0(?0)?n?1次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解.
［举例1］若{an}是等差数列，首项a1?0,a2006?a2007?0,a2006?a2007?0，则（1）使前n项和Sn最大的自然数n是＿＿；（2）使前n项和Sn?0的最大自然数n? ；
分析：由条件可以看出a2006?0,a2007?0，可知S2006最大，则使Sn最大的自然数为2006；由a2006?a2007?0知
a1?a4012?0，S4012?然数为4012.
4012(a1?a4012)2?0，S4013?4013?a2007，所以S4013?0，则使Sn?0的最大自
［举例2］在等差数列{an}中，满足3a4?7a7且a1?0,Sn是数列前n项的和.若Sn取得最大值，则n?＿＿＿＿＿. 分析：首项、公差（比）是解决等差（比）数列的最基本出发点.等差（比）数列的运算多可以通过首项与公差（比）来解决.由3a4?7a7知3(a1?3d)?7(a1?6d)?d??433a1，则an?a1?4(n?1)a133?37?4n33a1.当n?9时an?0，当n?10时an?0，所以n?9.
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