［举例2］ABCD－A1B1C1D1是单位正方体，黑、白两只蚂蚁从点A出发以相同速度沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是AA1?A1D1???，黑蚂蚁爬行的路线是AB?BB1???，在爬行过程中它们都遵循如下规则：所爬行的第n?2段与第n段所在直线必须是异面直线（其中n?N）.设黑、白两只蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两个蚂蚁的距离是――――――（ ） A、1； B、
2； C、3； D、0.
D1A14 分析：注意到它们的运动规律， 都是呈周期运动，运动周期为6. 经过2007次运动，
由2007?6?334?3知， 它们运动后所停位置就是 第3次运动后所停位置. 则它们都到达C1点，所
以这两蚂蚁之间的距离为0，选D.
C1
A11D123B1C1
4
DA 5 13B12 D 6
B C
A 6
5B C
64、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚. 外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）； 内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）；
垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）.
［举例］三棱锥的“三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱锥”的――――――――――――――――――――――――――――――――――（ ） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.
分析：三侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心，又底面是正三角形，则外心就是中心，知此三棱锥是正三棱锥.反之也成立，选C. 65、关注正棱锥中的几个直角三角形.
（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.
进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.
［举例］若一正三棱锥的底面边长是a，体积为
3a123，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的大小为＿＿＿＿；侧面与底面
所成二面角的大小为＿＿＿＿；此三棱锥的侧面积为＿＿＿＿. 分析：如图，设正三棱锥A—BCD的高为h.由题知：
A 13?34a?h?23123a，则h?a.设BC中点为E，顶点A
在底面上的射影为O.注意三角形ADO中含有侧棱与底面所 成角即?ADO与侧面底面所成二面角的平面角即?AEO.由 底面是正三角形且边长为a知EO?B E C
O D
36a,DO?33a，则
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tg?ADO?3,tg?AEO?23.所以侧棱与底面所成角大小为
?3，侧面与底面所成二面角大小为arctg23.由
AE?396a知，可求得侧面积为
394a.求侧面积也可以利用面积射影定理，由侧面与底面所成二面角正切值为
223，则此二面角的余弦值为
113，正三棱锥各侧面与底面所成的二面角都相等，则
S底S侧?113，所以S侧?394a.
266、直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角在计算过程中都有射影定理.两直线所成角余弦值的大小是一直线上的线段在另一直线上的射影长（过此线段两端点向另一直线作垂线，两垂足之间的线段长，若两直线垂直，则两垂足重合，射影长为0）与原线段长的比；
［举例］如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中 点，则异面直线BE与CD1所成角的大小为＿＿＿＿＿＿. 分析：B点在直线CD1上的射影是C点，过E作EF?CD1 于F，则F是E在直线CD1上的射影.设正方体棱长为2， 则BE?D1 A1 B1 F C1
5，CF?22.设BE与CD1所成角为?，则
cos??CFBE?1010.所以BE与CD1所成角大小为arccos1010. D E B
C A 说明：利用这种方法在解选择、填空等问题时比较方便，但要注意的此法解大题时慎用.
67、特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容.
［举例1］如图三棱锥S－ABC中，SA?平面ABC，?ACB?90°，则此三棱锥的四个面中的直角三角形的个数有＿＿＿＿＿个.
分析：此三棱锥的四个面都是直角三角形.此图中有三垂线定理
S ?SA?面ABC?BC?SC）（?；线面角（?SCA是SC与平面
BC?AC?ABC所成的角，?SBA是SB与平面ABC所成的角）；二面角的 平面角（?SCA是二面角S—BC—A的平面角）等. ［举例2］如图在底面是直角梯形的四棱锥
S－ABCD中，?ABC?90°，SA?平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝（1）求四棱锥S－ABCD的体积； （2）求SC与AB所成角的大小. 分析：（1）底面积S=
A B
12.
C
z 12(AD?BC)?AB?34，V?13?S?SA?14.
S y （2）建立如图坐标系，则
S(0,01),C(1,1,0),B(0,1,0),SC?{1,1,?1},AB?{0,1,0}，
设向量SC与AB所成角为?，
B A D x C
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则cos??SC?AB|SC||AB|?33，
即SC与AB所成角的大小为arccos33.
68、对平面图形的翻折问题要有所了解：翻折后，在同一半平面内的两点、点线及两线的位置关系是不变的，若两点分别在两个半平面中，两点之间的距离一般会发生变化.要认清从平面图形到空间图形之间的联系，能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系，根据问题画出空间图形.
［举例］如图在正三角形ABC中，D、E、F分别是各边的中点，G、H、I分别是DE、FC、EF的中点.将三角形ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，BG与IH所成角的大小为――（ ）
A、
?6； B、
A ?3； C、arccos23； D、arccos33.
A B C H D G I B E F H C D
G E
I
F
分析：平面图形翻折成三棱锥后，A、B、C重合于一点，BG是△BED的中线，HI//BE.所以BG与HI所成角为69、图形的分解、组合是立几命题的新思路，学会平面到空间、空间到平面的转化. ［举例］下面的一组图形为一四棱锥S－ABCD的侧面与底面.
?6.选A.
A a a D a
a a
a
a
a 2a
2a
B a C a （1）请画出四棱锥S－ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在的话，指出是示意图中的哪一条，说明理由.
（2）求出此四棱锥的体积；
（3）设E是最长侧棱的中点，F是底面正方形ABCD的边中与最长侧棱异面的边的中点，求EF与最短侧棱所成角的大小. 分析：这是一道比较新颖的立体几何题.要能根据侧面与底面 的形状先把它拼起来后，再解题.问题是从立几中解决，因此 对于作图能力有一定的要求，作不出图则无法解决. （1）如图知，侧棱SA?底面ABCD.因为侧面SAB、SAD 都是等腰直角三角形. （2）该四棱锥的体积V?S A 13a；
3E
D C F B
（3）最长侧棱是SC，E是SC中点，取底面边AB的中点为F，最短侧棱为SA.即求EF与SA所成角的大小.不难求出此角为
?4.
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第九部分 直线与圆锥曲线
70、直线的倾斜角是直线向上方向与x轴正方向所成的角，当直线是x轴或与x轴平行时，直线的倾斜角是0°，直线倾斜角的范围是[0,?).当直线与x轴不垂直时，倾斜角的正切值称为直线的斜率.
［举例］已知直线l1的斜率是＿.
33，直线l2过坐标原点且倾斜角是l1倾斜角的两倍，则直线l2的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿
分析：由l1的斜率是
33，知直线l1的倾斜角为
?6，所以直线l2的倾斜角为
?3，则l2的斜率为3，所以直线l2的议程
为y?3x.
71、若直线的倾斜角为?，直线的斜率为k，则?与k的关系是：
???tan?,??[0,)?(,?)?k?0?arctank,?22； ?＝?. k????arctank,k?0???不存在，?＝?2?［举例］已知直线l的方程为ax?by?c?0,(ab?0)且l不经过第二象限，则直线l的倾斜角大小为―――――――――――――――――――――――――――――――（ ） A、arctanab； B、arctan(?ab)； C、??arctanab； D、??arctanab.
分析：注意到直线l的斜率k??ab，又直线不过第二象限，则k?0，所以此直线的倾斜角为arctgk，选B.
72、常见直线方程的几种形式及适用范围要熟悉：（1）点斜式y?y0?k(x?x0)，过定点(x0,y0)与x轴不垂直；（2）斜截式y?kx?b，在y轴上的截距为b与x轴不垂直；（3）截距式
xa?yb?1，在x轴y轴上的截距分别为a,b与
坐标轴不平行且不过坐标原点.特别注意的是当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上的截距也相等，直线在两坐标轴上的截距相等，则此直线的斜率为－1，或此直线过原点（4）点法向式a(x?x0)?b(y?y0)?0；（5）点方向式
x?x0u?y?y0v2。（6）一般式ax?by?c?0，其中法向量为(a,b)，方向向量为(?b,a)
2［举例］与圆(x?1)?(y?2)?1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ ）
A、2条； B、3条； C、4条； D、5条.
分析：注意到截距与距离之间的区别，截距指的是曲线（直线）与坐标轴交点的一个坐标，它有正负（也可以是0）之分.选B.
73、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”. ［举例］过点P(2,3)与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
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分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离来求解，则会漏解，这是因为在设立方程的时候就排除了斜率存在的情况.考虑到直线x?2满足题义，故所求直线有两条，其方程为：5x?12y?26?0与x?2.
74、两直线位置关系讨论的主要依据是两直线的斜率，要注意斜率不存在时的情况.掌握点到直线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式.由一般式方程判断两直线之间的关系：直线l1：A1x?B1y?C1?0,(A1,B1不全为0）、l2：A2x?B2y?C2?0，（A2,B2不全为0）.则l1//l2的充要条件是A1B2?A2B1?0且A1C2?A2C1与B1C2?
B2C1至少有一个不为零；l1?l2的充要条件是A1A2?B1B2?0；l1与l2相交的充要条件是A1B2?A2B1?0.
［举例1］直线l1,l2斜率相等是l1//l2的――――――――――――――――――（ ） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.
分析：直线l1,l2斜率相等，两直线可能重合，不一定有l1//l2；又两直线l1//l2，考虑到特殊情况，若l1,l2都与x轴垂直，则它们的斜率不存在，就谈不上斜率相等了.选D.
［举例2］直线l过点P(2,3)与以A(3,2),B(?1,?3)为端点的线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：直线与线段之间的关系可借助于数形结合的方法来解决，先确定出“极限”位置时直线的倾斜角（斜率），再从旋转的角度进行变化研究.kPA??1,kPB?2.若直线l与线段AB有公共点，则其斜率k存在时的取值范围是：k??1或
k?2，或其斜率不存在.因此直线l倾斜角的取值范围是[arctan2,3?4].
利用数形结合解决这类问题时，困惑的是要求的直线斜率的取值范围问题.可以这样来确定：过定点P的直线（倾斜角为?）与线段AB有公共点（PA、PB与x轴不垂直），PA、PB的倾斜角分别为?,?(???)，则?????.若直线l的斜率为k（存在的话），PA、PB的斜率分别为k1,k2(k1?k2)，当k1?k2?0时，则有k1?k?k2；当k1?k2?0时，则有k?k1或k?k2.
在解这类问题时也可以利用线性规划的有关知识来求解.设直线l的方程为f(x,y)?0，A(x1,y1),B(x2,y2)，若l与线段AB有公共点（A、B两点在直线l的两侧或有一点在直线上），则f(x1,y1)?f(x2,y2)?0；若l与AB没有公共点（A、B两点在直线l的同侧），则f(x1,y1)?f(x2,y2)?0.这样可很方便地求出直线l的斜率.
75、点A、B关于直线l对称即l是线段AB的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明AB的中点在l上.特别注意：当对称轴所在直线的斜率为1或－1时，对称点的坐标可用代入的方法求得.即点(x0,y0)关于直线x?y?c?0的对称点是
(?y0?c,?x0?c)；点(x0,y0)关于直线x?y?c?0的对称点是(y0?c,x0?c).
［举例1］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点A(2,0)与点B(0,6)重合，若点C(3,0)与点D重合，则点D的坐标为
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