［举例1］已知△ABC是等腰直角三角形，?C＝90°，AC＝BC＝2，则AB?BC＝＿＿； 分析：特别注意的是，向量AB与BC的夹角不是△ABC的内角B， AB与BC的夹角是?B的外角.（如图）由AC?BC?2，则AB?2A 2，则 C B AB?BC?|AB|?|BC|cos3?4?22?2?(?22)??4.
［举例2］P是△ABC边BC的中线AD上异于A、D的动点， AD＝4，则PA?(PB?PC)的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由D是BC的中点知PB?PC?2PD，PA与
A P B
D C PD反向，它们所成角为?.设|PA|?x(0?x?4)，则
|PD|?4?x.那么PA?(PB?PC)?2PA?PD??2x(4?x)(0?x?4).所以其取值范围为[?8,0).
52、向量运算中特别注意a［举例］已知|a|?2?|a|的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算.
22,|b|?1，且a,b的夹角为
?4，又OC??a?3b,OD?2a?b，求|CD|.
分析：CD?OD?OC?(2a?b)?(?a?3b)?3a?4b，则|CD|?|3a?4b|，由题知a?b?1，所以
222|CD|?(3a?4b)?9a?24a?b?16b?10.
注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解.请同学们自己完成. 53、向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.已知a?{x1,y1},b?{x2,y2}则
a?b?{x1?x2,y1?y2},a?b?x1?x2?y1?y2.若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB?{x2－x1,y2?y1}，
其坐标形式中是向量的终点坐标减去起点坐标.请注意：向量的坐标形式实质上是其分解形式x?i?y?j的“简记”.其中
i,j分别表示与x轴、y轴正方向同向的单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论：若向量
a?{x1,y1},b?{x2,y2}是非零向量则有：a?b?x1?x2?y1?y2?0；a//b?x1?y2?x2?y1?0.
［举例］设O是直角坐标原点，OA?2i?3j,OB?4i?j，在x轴上求一点P，使AP?BP最小，并求此时?APB的大小.
分析：设P(x,0)，则AP?{x?2,?3},BP?{x?4,1},则AP?BP?(x?2)(x?4)?3=
22x?6x?5?(x?3)?4，所以当x?3时，AP?BP的最小值为?4.此时AP?{1,?3}，BP?{?1,1}，
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AP,BP所夹角等于?APB，所以cos?APB?AP?BP|AP||BP|??255.所以?APB???arccos255.
54、利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是[0,?].特别注意a?b?0不能等同于a,b所成角是锐角.当a,b同向时也满足a?b?0.
［举例1］已知△ABC，则“AB?AC?0”是“△ABC为钝角三角形”的――――（ ） A、充分不必要条件； B、必要不充分条件； C、充分必要条件； D、既不充分又不必要条件.
分析：对于△ABC，由AB?AC?0可知?A是钝角，但△ABC为钝角三角形，不一定A是钝角.选A. ［举例2］l是过抛物线y2?2px(p?0)焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO
是――――――――――――――――――――――――――（ ）
A、锐角三角形； B、直角三角形； C、钝角三角形； D、不确定与P值有关.
?y2?2pxpp?22分析：由直线l过焦点F(,0)，设其方程为x?my?，联立得：?p，即：y?2pmy?p?0，
22?x?my?2?2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2??p，又x1?x2?y122p?y222p=
p24.则OA?OB?x1x2?y1y2??3p42?0，则?AOB一定是钝角.选C.
55、关注向量运算与其它知识的联系，与三角函数综合是高考中的常见题型. ［举例］已知向量a?{2cosx,1},b?{cosx,（1）若f(x)?1?3sin2x},x?R.设f(x)?a?b.
3且x?[???3,3]，求x的值；
（2）若函数y?2sin2x的图像按向量c?{m,n}(|m|?分析：
（1）由题知：
?2)平移后得到函数y?f(x)的图像，求实数m,n的值.
f(x)?2cos2x?3sin2x?cos2x?1?3sin2x?2sin(2x??6)?1，由题：
sin2(x??6)??32，又x?[???3,3]，所以x???4.
（2）函数y?2sin(2x??6)?1是由函数y?2sin2x向左平移
?12，再向上平移1个单位而得，所以
m???12,n?1.
56、关注点、函数图像（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点M(x,y)按向量a?{m,n}平移
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得到点的坐标是M(x?m,y?n)；曲线C：f(x,y)?0按向量a?{m,n}平移得到曲线C//的方程为
可结合图形将函数图像（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻f(x?m,y?n)?0.在实际应用过程中不必要死记公式，译”成向左（右）、向上（下）平移，再用函数图像变换的规律操作.
［举例1］将椭圆
(x?2)422?(y?3)322则a?＿＿＿＿； ?1对应的曲线按向量a平移后得到的曲线的方程为标准方程，
分析：椭圆
(x?2)4?(y?3)3?1的中心为(2,?3)，平移后中心为(0,0)，则点(2,?3)为向量a的起点，点(0,0)为向量a的终点，所以a?{?2,3}.
[举例2]平移坐标轴，将原点按向量a平移后，使椭圆＝＿＿＿＿＿＿＿.
(x?2)42?(y?3)32?1在新坐标系中化成为标准方程，则向量a分析：本例与上例平移方向相反.是将原点从(0,0)平移到(2,?3)，因此a?{2,?3}.
注意到曲线（函数图像）的平移坐标系不变，而坐标轴的平移是曲线（函数图像）不变.两者的方向是不同的，即向量的起点与终点恰好相反.
第八部分 空间图形
57、平面的基本性质是高考中立体几何的重点内容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形.
［举例1］已知线段AB长为3，A、B两点到平面?的距离分别为1与2，则AB所在直线与平面?所成角的大小为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
分析：要注意到点A、B是平面?同侧还是在平面?的两侧的情况.当A、B在平面?的同侧时，AB所在直线与平面?所成角大小为arcsin13；当A、B在平面?的两侧时，AB所在直线与平面?所成角为
?2.
［举例2］判断命题：“平面?上有不共线的三点到平面?的距离相等，则平面?与平面?是平行平面”的真假. 分析：这是一个假命题.只有当这三点在平面?的同侧时，两平面才平行.
58、线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行.线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.
［举例］已知平面?,?，直线a,b.有下列命题：（1）
?//???????a//?；（2）??a//? ?a???a???a//b?a//b???（3）a?????//?；（4）a?????//?.其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿.
b???b?????分析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平
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面平行.（2）要注意的是直线a可能在平面?内.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面内两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）. 59、直线与平面所成角的范围是[0,?2]；两异面直线所成角的范围是(0,?2].一般情况下，求二面角往往是指定的二面角，
若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可.
［举例］设A、B、C、D分别表示下列角的取值范围：（1）A是直线倾斜角的取值范围；（2）B是锐角；（3）C是直线与平面所成角的取值范围；（4）D是两异面直线所成角的取值范围.用“?”把集合A、B、C、D连接起来得到＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：直线倾斜角的范围是[0,?)，锐角的范围是(0,?2).由此：B?D?C?A.
60、立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点（二面角的计算文科不要求）.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法（要在方便建立坐标系时用），特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为a时，其所成角的大小应为
arccos|a|.
［举例］正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB中点，则异面 直线DE与BD1所成角的大小为＿＿＿＿＿＿.
分析：取CD中点F，则BF//DE.那么?D1BF是异面直线 DE与BD1所成的角（或补角）.设正方体的棱长为2，可求 得：BD1?23,BF?C1 D1 C F D 15B1 A1
5,D1F?5.在△BFD1中，求得
cos?D1BF?155A
.
E
B
，所以异面直线DE与BD1所成角的大小为arccos5对于异面直线所成角的计算，在便于建系的立体图形中（垂直关系明显：如正方体、长方体或有一侧棱与底面垂直的棱锥等）也可以利用建系的方法进行求解，
但要注意到空间坐标系的建立方法，确定好坐标轴. 建立如图坐标系，设正方体的棱长为2，则D1(2,0,2)
z C1 D1 A1 C B1 B(0,2,0)，D(2,0,0)，E(1,2,0).BD1?{2,?2,2}，
B A E DE?{?1,2,0}，设向量BD1与DE所成角为?，则
cos??BD1?DE|BD1||DE|??623?5??155y x D .所以异面直线DE与BD1所成角的大小为arccos155.
特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是不一样的.本题中的向量BD1与DE所成的角大小是两异面直线DE与BD1所成角的补角.
61、直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化.
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［举例］正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，BC1与平面ACC1A1所成角为30°.试求：（1）三棱柱ABC－A1B1C1的体积；（2）点C到平面BAC1的距离.
分析：（1）求三棱柱的体积，只要求出其高即可.由BC1与平面 ACC1A1所成角为30°，则要作出BC1在平面ACC1A1上的射影. 取AC中点E，则BE?AC，所以BE?平面ACC1A1，则EC1 是BC1在平面ACC1A1上的射影.有?BC1E=30°.由BE?知C1E?3，所以CC=26.
（2）若直接求点C到平面BAC1的距离，则需要作垂线、定垂足，比较麻烦.利用体积转化则比较简单.注意到三棱锥C—ABC1即为三棱锥C1—ABC，其体积为
C1
A1 B1
3，
E A
C B
1?22.则三棱柱的体积V=CC1?S?ABC
263，设C到平面BAC1的距离为h，则
263?13?h?S?ABC1.容易求得
S?ABC1?11，所以点C到平面BAC1的距离为
26611.
62、长方体、正方体是最基本的几何体，要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、高分别为a,b,c，对角线长为l，则l2?a?b?c.利用这一关系可以得到下面两个结论：（1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为?,?,?，则
2222cos??cos2??cos??1；
22（2）若长方体的对角线与三面所成角分别为?,?,?，则cos??cos2??cos??2.
2［举例］长方体ABCD－A1B1C1D1的对角线AC1与过A点的三条棱所成的角分别为?,?,?，若??＝――――――――――――――――――――――――（ ） A、
?4,???3，则??6； B、
2?4； C、
22?3、 D、不确定.
2分析：根据cos??cos??cos??1得cos??14，则cos??12，???3.选C.
63、正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容，相当一部分的高考题是以正方体作为载体进行命题，或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的展开图，会由展开的平面图形想象立体图形. ［举例1］如图是一正方体的平面展开图，在这个正方体中： （1）AF与CN所在的直线平行； （2）CN与DE所在的直线异面； （3）CN与BM成60°角； （4）DE与BM所在的直线垂直.
以上四个命题中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
分析：将此展开图还原成正方体（如图）.可以看出：（2）、
E （3）、（4）是正确命题.
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D C M N N E D F
M
A B F C
A
B