?2x,x?0[举例2]已知f(x)??，若f?log2(?x),?2?x?0分析：由f?1?1(a)?3，则a?＿＿＿＿.
(a)?3得a?f(3)，所以a?8.
14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数y?ax? [举例]已知函数f(x)?ax?bx,(a,b?0)的单调性.
1x(a?0)在x?[1,??)上是单调增函数，求实数a的取值范围.
ba分析：函数y?ax?bx“耐克”函数，由基本不等式知：当x?0时，函数的最小值是2ab，当x?,(a,b?0)称为
时等号成立.x?(0,ba]时，函数递减；x?[ba,??)时，函数递增.记住此结论在解选择、填空等小题时用起来比较
方便.函数f(x)?ax?1x(a?0)在[1,??)上递增，则
1a?1，得a?1.但若是大题推理就不能这样描述性的说明，
必需要按函数单调性的定义有严格的论证.
任设x1,x2?[1,??),且x1?x2.f(x1)?f(x2)?(x1?x2)(a?1x1x21)，由函数f(x)是单调增函数，则
f(x1)?f(x2)?0，而x1?x2?0，则a?1x1x2?0.所以a?x1x2对于x1,x2?[1,??),且x1?x2恒成立，
因
1x1x2?1，故a?1.
需要说明的是：在考试中若“小题大做”则浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”则失分，因为“大题”需要严格的论证过程.
15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值. ［举例］求函数f(x)?x2?2ax?1在区间[?1,3]的最值.
分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.
?10?6a(a?1)f(x)max??，f(x)min2?2a(a?1)?(a??1)?2?2a?2??1?a(?1?a?3). ?10?6a(a?1)?16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.
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特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；一般地，不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.
[举例1]已知关于x的不等式|ax?3|?5的解集是[?1,4]，则实数a的值为 . 分析：若是从解不等式入手，还应考虑常数a的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之间的关系则可迅速得到答案：解
?a??2或8?|?a?3|?5?集端点值?1,4是方程|ax?3|?5的根.则?得?1，知a??2.
|4a?3|?5??a??2或2?［举例2］解关于x的不等式：ax2?2ax?1?0(a?R).
分析：首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当a?0时，此不等式是恒成立的，则其解集为R.当a?0时，才是二次不等式.与其对应的方程为ax22?2ax?1?0，根判别式??4a?4a.当??0，即a?1或a?0时，方
程两根为x1,2??a?aa?a2；当??0，即a?1时，方程有等根x??1；当??0，即0?a?1时，方程无
实根.结合二次函数的图像知：a?1时不等式的解集为(??,?a?a?aa2)?(?a?aa?a2,??)；当a?1时，
不等式的解集为(??,?1)?(?1,??)；当0?a?1时，不等式的解集为R；当a?0时，不等式的解集为
22(
?a?aa?a?a?,a?aa).
第二部分 不等式
17、基本不等式a?b?2ab,ab?(a?b2)要记住等号成立的条件与a,b的取值范围.“一正、二定、三相等”，“积
2定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.
［举例］已知正数a,b满足a?2b?3，则
1a?1b的最小值为＿＿＿＿＿＿.
分析：此类问题是典型的“双变量问题”，即是已知两变量的一个关系式，求此两变量的另一代数式的最值（或取值范围）问题.其解决方法一是“减元”，即由关系中利用一个变量表示另一变量代入到所求关系式中，转化为一元函数的最值问题；另一方法是构造基本不等式.由
1a?1b?1a?2ba?2b12ba1(?)?(3??)?(3?22)，当且仅当3ab3ab32ba?ab等号成立，此时a?32?1,b?32?2.
18、学会运用基本不等式：||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|.
［举例1］若关于x的不等式|x?1|?|x?2|?a的解集是R，则实数a的取值范围是＿＿；
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分析：由不等式的解集为R，则a大于|x?1|?|x?2|的最大值.由绝对值不等式的性质知：
|x?1|?|x?2|?|(x?1)?(x?2)|?1，所以a?1.
[举例2]若关于x的不等式|x?1|?|x?2|?a的解集不是空集，则实数a的取值范围是＿. 分析：|x?1|?|x?2|?|(x?1)?(x?2)|?1，知a?1.
19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”. ［举例］解关于x的不等式：分析：原不等式化为：
a(x?1)x?2(a?1)x?(a?2)x?2?1(a?0).
?0?(x?2)[(a?1)x?(a?2)]?0.注意到此不等式二次项系数含有变
量，故要讨论.（1）当a?1时，不等式的解集为{x|x?2}；（2）当0?a?1时，注意到此时对应的二次函数开口向下，对应方程两根x1?2,x2?a?2a?1a?1a?2同样可得不等式的解集为(??,)?(2,??).
a?1，而
a?2?1?11?a?2，此时不等式的解集为(2,a?2a?1（3）当a?1时，)；
20、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；②二次函数；③单调性；④逆求法（包括判别式法）；⑤换元法；⑥数形结合.一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数y?x?ax,(a?0)的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数. ［举例1］已知函数f(x)?ax?322x的最大值不大于
216，又当x?[111,]时，f(x)?，求实数a的值. 428分析：f(x)??32(x?a3)?2a6，则
a26?16?a21?1f()???48?1，又此二次函数开口向下，则有??a?1.
?f(1)?1?8?2知a?1.注意到：开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一端点对应的函数值；同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值. [举例2]求函数f(x)?x?3x?6x?132在区间[?2,2]上的最大值与最小值.
分析：因为函数的定义域不是一切实数，用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元转化成基本不等式型的应用.设
x?3?t，则f(x)?tt?42?1t?4t，t?[1,5].当t?2时，t?4t取最小值4；当t?5时，t?4t取最大值
295.
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所以函数f(x)在区间[?2,2]上的最大值为涉及，要能熟练地掌握其解法.
21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数y?f(a,x)的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数. ［举例］（1）已知不等式4（2）若不等式4分析：（1）由4x14，最小值为
529.注意：此类函数的值域（最值）问题在解几的最值中经常
x?a?2?2?0对于x?[?1,??）恒成立，求实数a的取值范围.
xx?a?2?2?0对于a?(??,3]恒成立，求实数x的取值范围.
xxx?a?2?2?0得：a?2x?22x对于x?[?1,??）恒成立，因2x?12，所以2x?22x?22，
当2?2时等号成立.所以有a?22.
x（2）注意到4xx?a?2?2?0对于a?(??,3]恒成立是关于a的一次不等式.不妨设
xf(a)??2?a?(4?2)，则f(a)在a?(??,3]上单调递减，则问题等价于f(3)?0，所以
x4?3?2?2?0?2?2或2?1，则x取值范围为(??,0)?(1,??). xxx第三部分 三角函数
22、若??(0,?2)，则sin????tan?；角的终边越“靠近”y轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边
“靠近”x轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大.
［举例1］已知??[0,?]，若sin??|cos?|?0，则?的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.
分析：由sin??|cos?|?0且??[0,?]，即|sin?|?|cos?|知其角的终边应“靠近”y轴，所以??(［举例2］方程sinx?x的解的个数为＿＿＿＿个.
分析：在平面直角坐标系中作出函数y?sinx与y?x的图像，由函数y?sinx,y?x都是奇函数，而当x?1时
?3?4,4).
x?sinx恒成立.在x?(0,解.
同样：当x?(??2，即方程sinx?x只有一个)时，sinx?x，所以两函数图像只有一个交点（坐标原点）
??2,2)时，方程tgx?x只有唯一解x?0.
23、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：由tan??tan?未必有???；由???同样未必有
tan??tan?；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sin??sin?；则??2k???；或
??2k?????,k?Z；若cos??cos?，则??2k???,k?Z；若tan??tan?，则
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??k???,k?Z.
［举例1］已知?,?都是第一象限的角，则“???”是“sin??sin?”的――（ ） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件. 分析：?,?都是第一象限的角，不能说明此两角在同一单调区间内.如
?13?3,6都是第一象限的角，
?3?13?6但
sin?3?sin13?6.选D.
［举例2］已知??0,??0,?????，则“???”是“sin??sin?”的―――（ ） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件. 分析：注意到由?,?,????(0,?)，则?,?可以看作是一三角形的两内角.选C.
24、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由tg?的值求
sin?,cos?的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示
“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.
［举例1］已知?是第二象限的角，且cos??a，利用a表示tg??＿＿＿＿＿；
分析：由?是第二象限的角，cos??a知sin??1?a，tan??22sin?cos??1?aa2.
［举例2］已知6sin分析：由6sin22??sin?cos??2cos??0,??(?2,?)，求sin(2???3)的值.
12或tan??222??sin?cos??2cos??0得：6tan??tan??2?0，则tan???23.
又??(?2,?)，所以tan???23.由万能公式得sin2??2tan?1?tan?2??1213，cos2??1?tan?1?tan?2?513.知
sin(2???3)?53?1226.
25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：
sin2x?12(1?cos2x),cos2x?12(1?cos2x)；引入辅助角（特别注意
?3，
?6经常弄错）使用两角和、差的正
弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为y?Asin(?x??)?B的形式.函数y?|Asin(?x??)|的周期是函数y?Asin(?x??)周期的一半.
2［举例］函数f(x)?2cosx?23sinxcosx?1的最小正周期为＿＿＿＿＿；最大值为＿＿；单调递增区间为＿
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；在区间[0,2?]上，方程f(x)?1的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由f(x)?2cos2x?23sinxcosx?1?cos2x?3sin2x?2sin(2x?5?6).所以函数f(x)的最小
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