所以所求双曲线方程为
x22?y22?1.
84、渐近线是双曲线特有的几何性质，要特别注意双曲线的渐近线方程，理解“渐近”的意义.双曲线
xa22?yb22?1的渐
近线的方程为
xa22?yb22?0，与双曲线
xa22?yb22?1共渐近线的双曲线可以设成
xa22?yb22??（其中??0是待定
的系数），双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离是虚半轴长b.
［举例1］一双曲线与＿＿＿；
x23?y2?1有共同渐近线且与椭圆
x23?y2?1有共同焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿
分析：由题可设所求双曲线的方程为
x232?y2??，因其焦点在x轴上，则??0.则标准式为
x23??y2??1，那么
3????2.得所求双曲线为
x23?y?12.
［举例2］若关于x的方程
2x?1?k(x?2)有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
分析：若从代数角度入手讨论比较麻烦.从数形结合入手， 借助于双曲线的渐近线，则很容易得解.在同一坐标系中 作出y?y x?1（双曲线x?y222?1的上半部分）与
y?k(x?2)（过定点(?2,0)的直线）的图像.如图：可
得0?k?1.
?2 O x 85、记住双曲线中常见的结论：（1）过双曲线焦点的直线被双曲线同支截得的弦长的最小值是通径（垂直于实轴的弦长），被两支截得的弦长的最小值是实轴的长；（2）双曲线焦点到同侧一支上的点的距离最小值是c?a，到异侧一支上点的距
离最小值是c?a；（3）双曲线
xa22?yb22?1的焦点为F1,F2，P是双曲线上的一点，若?F1PF2??，则△F1PF2的面积为bcot2?2（仿椭圆焦点三角形面积推导）.
［举例1］已知双曲线的方程为
x29?y216?1，P是双曲线上的一点，F1、F2分别是它的两个焦点，若|PF1|?7，则
|PF2|?＿＿＿＿＿＿；
分析：由双曲线的定义||PF1|?|PF2||?6，知|PF2|?1或13.注意P
点存在的隐含条件
|PF1|?|PF2|?|F1F2|?10，所以|PF2|?13.
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［举例2］椭圆＿＿＿＿＿；
分析：由椭圆与双曲线有公共焦点，可得6?2?a?1，所以a?3由.又由椭圆的焦点三角形的面积知△PF1F2的面积为
x26?y22?1和双曲线
x2a?y?1的公共焦点为F1,F2，P是它们的一个公共点，则cos?F1PF2?22tan11?F1PF2，由双曲线的焦点三角形的面积知△PF1F2的面积为cot?F1PF2，则2211121，由万能公式得cos?F1PF2?. 2tan?F1PF2?cot?F1PF2.解得tan?F1PF2?22223??|PF1|?|PF2|?26另解：也可以由?（不妨设|PF1|?|PF2|），求得|PF1|???|PF1|?|PF2|?23由|F1F2|?4，利用余弦定理可得cos?F1PF2?6?3，|PF2|?6?3，又
13.
［举例3］双曲线
x2n?y2?1(n?1)的两焦点为F1,F2,P是此双曲线上的一点，且满足|PF1|?|PF2|＝
2n?2，则△PF1F2的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：由题可以得出点P在椭圆
x2n?2?y2?1上，设?F1PF2??，由焦点三角形的面积公式可知对于椭圆
S?tan?2，对于双曲线S?cot?2，则必有???2，所以△PF1F2的面积等于1.
86、抛物线是高考命题中出现频率最高的圆锥曲线.仅从标准方程上，抛物线就有四种不同的形式，要注意开口方向与标准方程的关系.不要将抛物线的标准方程与二次函数的表达式相混淆.
［举例］抛物线y?4x的焦点坐标是＿＿＿＿＿；准线方程是＿＿＿＿＿. 分析：注意到方程y?4x不是抛物线的标准方程，其标准形式为x方程为y??222?14y.所以此抛物线的焦点坐标为(0,116)，准线
116.
87、记住抛物线的常见性质：（1）抛物线上任意一点到焦点距离等于它到准线的距离；（2）过抛物线的焦点与顶点的直线是抛物线的对称轴；（3）顶点、焦点、准线之间的关系；（4）过焦点与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线
y2?2px(p?0)的通径长为2p；（5）通径是过抛物线焦点的弦中长度最小的一条.
［举例1］已知抛物线的焦点为F(1,1)，对称轴为y?x，且过M（3,2），则此抛物线的准线方程为＿＿＿；
分析：若仅局限于抛物线的标准方程，此题无法解决.考虑到抛物线的性质，准线是与对称轴垂直，则其方程可设为
x?y?b?0.由抛物线的定义可知抛物线上点到焦点的距离与其到准线的距离相等，因此M(3,2)到准线距离等于
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|MF|?5，则
|5?b|2?5，则b??5?10.所以抛物线的准线为x?y?5?10?0.
［举例2］直线l过抛物线x2?4y的焦点与抛物线交于A、B两点，若A、B两点到x轴的距离之和等于3，则这样的直
线l有―――――――――――――――――（ ）
A、1条； B、2条； C、3条； D、不存在.
分析：A、B两点到x轴的距离之和为3，则A、B两点到准线y??1的距离之和为5.根据抛物线的定义可得弦长|AB|?5，此抛物线的通径为4，故满足题义的直线有2条.选B.
88、过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦称为抛物线的焦点弦.以抛物线y性质：设抛物线y22?2px(p?0)为例，焦点弦有下列常用
?2px(p?0)的焦点为F，A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两点.（1）A、B、F三点共线的充
分必要条件是y1y2??p(x1x2?2p24（2）|AB|?x1?x2?p；（3）若AB过焦点，则以AB为直径的圆与抛)；
物线的准线相切；（4）AB过焦点，则OA?OB为定值；（5）AB过焦点，则
1|AF|?1|BF|?2p.
［举例1］直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A、B两点，O是抛物线的顶点，则△ABO的形状是――――――――――――――――――――――――――――――――（ ） A、直角三角形；B、锐角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与抛物线的开口大小有关. 分析：不妨设此抛物线的方程为y2?2px，过焦点的直线l:x?my?p2?y2，代入抛物线方程得：
2y?2pmy?p22?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2??p，x1x2?2y122p2p
?p24.OA?OB?x1x2?y1y2??34p2?0，所以?AOB为钝角.选C.
[举例2]求证：过抛物线y2?2px(p?0)焦点的所有弦长的最小值是2p.
分析：本例的证明方法很多.设其焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则由抛物线的定义知
|AB|?x1?x2?p?2x1x2?p?2p24?p?2p.当且仅当x1?x2时等号成立.此时直线AB与对称轴垂直.
89、“点差法”是解决直线与圆锥曲线位置关系中与弦的中点有关问题的常用方法.“点”是指弦端点、弦中点；“差”是指将弦端点坐标代入曲线方程作差.由点差法可以利用弦中点的坐标表示出弦所在直线的斜率.
［举例］已知点M是椭圆
xa22?yb22?1的一条不垂直于对称轴的弦AB的中点，O是坐标原点，设OM、AB的斜率分别
为k1,k2，则k1?k2＝―――――――――――――（ ）
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A、
ab22； B、
ba22； C、?ba22； D、?ab22.
分析：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，则
x1a22?y1b22?1，
x2a22?y2b22?1，两式作差得
(x1?x2)(x1?x2)a2?(y1?y2)(y1?y2)b2?0，又x1?x2?2x0,y1?y2?2y0，所以
y1?y2x1?x2?y0x0??ba22.
即k1?k2??ba22.选C.
90、当直线过x轴上的定点A(a,0)时，若直线不是x轴，则此直线方程可以设成x?my?a.这样可以避免讨论直线斜率是否存在.
［举例］设直线l过椭圆直线l的方程.
x24?y2?1的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，O是坐标原点，当△OAB的面积最大时，求
分析：由题可设直线l：x?my?3代入椭圆方程中得：(m2设A(x1,y1),B(x2,y2)，?4)y?23my?1?0，
2可得△OAB的面积S=
32(|y1|?|y2|)?32|y1?y2|，可得：
2S?3212m222(m?4)?4m?42?23m?1(m?4)22?23(m?1)?219m?12，则当m2?1?3时，S
?6有最大值为1.此时直线l方程为：x??2y?3.
91、求动点的轨迹方程要能充分地将“动”与“定”有机的联系起来，以“定”制“动”.也可以先由动点定轨迹后方程.常见动点的轨迹要熟记.
［举例1］设点P为双曲线＿＿；
x24?y2?1上的动点，F是它的左焦点，M是线段PF的中点，则点M的轨迹方程是＿＿＿
分析：设P(x0,y0),M(x,y)又F(5,0).由题义得：x0?2x?5,y0?2y，代入
x042?y0?1得：(x?252)?4y22?1即为所求的轨迹方程.像这种求轨迹的方法称为代入转移法，它适用于由定曲
线上的动点所确定的另一动点的轨迹方程的求法.具体步骤是用要求轨迹方程的动点坐标(x,y)来表示定曲线上的动点
(x0,y0)坐标，代入定曲线的方程.
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［举例2］已知椭圆的焦点是F1,F2，P是椭圆上的一个动点.如果延长F1P到Q，使得|PQ|?|PF2|，那么动点Q的轨迹是―――――――――――――――――――（ ）
A、圆； B、椭圆； C、双曲线的一支； D、抛物线. 分析：注意到椭圆的性质：|PF1|?|PF2|为定值， 又|PQ|?|PF2|，所以|F1Q|为定值.由圆的定义 知，Q点的轨迹是以F1为圆心，椭圆长轴长为半径 的圆.选A.这种求轨迹的方法称之为定义法：即是 根据常见曲线的定义来确定动点的轨迹.
92、直线与圆锥曲线之间的位置关系的讨论主要是转化为方程根的个数的讨论，联立直线与圆锥曲线方程得方程组，消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程，利用根的判别式进行讨论，但要注意二方面：一是直线的斜率是否存在，二是所得方程是否为一元二次方程.直线与非封闭曲线（双曲线、抛物线）联立得到的方程二次项可能为零.
y P F1 O F2 Q x ［举例］已知直线l过点M(1,1)，双曲线C：x2?y23?1.
（1）若直线l与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l的方程；
（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线l斜率的取值范围；
（3）是否存在直线l使其与双曲线的有两个不同的交点A、B，且以AB为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.
分析：（1）当直线l与x轴垂直时，直线x?1满足题义.当直线l与x轴不垂直时，设直线方程为y?1?k(x?1)，联立得方程：(3?k)x当3?k222?2k(1?k)x?(k2?2k?4)?0---（*）
?0时，方程（*）是一次方程，直线l与双曲线有一个公共点，此时直线l方程为y?1??3(x?1).当
，得
3?k2?0时，由△?48?24k?0k?2，所以满足题义的直线
l为：
x?1,2x?y?1?0,y?1??3(x?1).
（2）直线l与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程（*）有两不等的正根.由△?48?24k
2k(1?k)?x?x??0122??3?k，得3?k?2或k??3. ?0，知k?2且?2?x?x?k?2k?4?0122?k?3?（3）若以
AB
为直径的圆过坐标原点，则OA?OB?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，即
22x1x2?y1y2?0.(k?1)x1x2?k(1?k)(x1?x2)?(1?k)?0，将x1x2,x1?x2代入化简得：
2k?4k?1?0，k??2?3（满足k?2)
注意：解析几何的运算量比较大，一般来说似繁的运算式子最后可以化简得出，若遇求解不出，问题常出在运算过程的失误.要有耐心、细心才行.
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