39、数列{an}是等比数列，其前n项的和Sn是关于q的分段函数Snq?1?na1?，在求和过程中若公比不??a1(1?qn),q?1?1?q?是具体数值时，则要进行讨论.
［举例1］数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，且limSn?n??1a1，求a1的取值范围.
分析：注意到等比数列的公比是不为零的常数，前n项和存在的前提条件是|q|?1，且limSn?n??a11?q，知
a11?q?1a1，
则a12?1?q，有a1?(0,1)?(1,2)，则a1?(0,1)?(1,22)
?(?2,?1)?(?1,0).
［举例2］数列{an}是等比数列，首项a1?1，公比q??1，求lim1Sn的值.
n??分析：涉及到等比数列的前n项和的问题不能直接的应用公式，要考虑到公比的取值情况.当q?1时，Sn?na1?n，
此时lim1Snn???lim1nn???0；当q?1时，Sn?1?qn1?q，则lim1Sn=
n??lim1?q1?qnn???1?q,(|q|?1)??.
(|q|?1)?0,40、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若{an｝是等差数列，则对于任意自然数m,n有an?am?(n?m)d；若{an｝是等比数列，则对于任意的自然数m,n，有an?am?qn?m.在这两关系式中若取m?1，这就是等差（比）数列的通项公式.
［举例1］已知数列{an}是等差数列，首项a1?0，且3a5?5a7?0.若此数列的前n项和为Sn，问Sn是否存在最值？若存在，n为何值？若不存在，说明理由.
分析：对于本题来说，等差数列的基本性质用不上，可以化归为首项与公差来解决.设此数列的公差为d，则
3(a1?4d)?5(a1?6d)?0，即d??421a1，由a1?0知d?0，所以数列{an}是递减数列，故Sn有最大值
421a1)?25?4n21而无最小值.由等差数列的通项公式知：an?a1?(n?1)(?an?0，a1，当n?6时，当n?7时，
an?0.所以S6最大.综上知，当n?6时，Sn最大，不存在最小值.
[举例2]已知正项等比数列{an}中，首项a1?1，且a5?a7明理由.
分析：与举例1联系起来，这是数列中的“类比”问题.其解决的思想方法是一样的.对于单调正项数列，前n项积Tn最大
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35?1.若此数列的前n项积为Tn，问Tn是否存在最值？说
（小），则应满足??an?1?an?1?an?1(?). ?1?an?1?14364设此数列公比为q，则(a1q)?(a1q)则q?a1?1，
?421.an?a1?(a1?421)n?125?4n?a121.由a1?1知：n?6时，
an?1,n?7时，an?1.所以当n?6时，T6最大，Tn没有最小值.
[特别注意]等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化，这种变化可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭示.我们知道：若数列{an}是正项等比数列，记bn?log之若数列{an}是等差数列，记bn?manman(m?0,m?1)，则数列{bn}是等差数列.反
(m?0)，则数列{bn}是等比数列.
41、已知数列的前n项和Sn，求数列的通项公式时，要注意分段an???S1n?1?Sn?Sn?1,n?2.当a1满足
an?Sn?Sn?1,(n?2)时，才能用一个公式表示.
［举例］已知数列{an}的前n项和Sn?(a?2)n2?n?a.若{an}是等差数列，求{an}的通项公式.
分析：证明一个数列是等差数列或是等比数列，要从等差、等比数列的定义出发.等差、等比数列的性质不能作为证明的理由.
由Sn?(a?2)n2?n?a知，n?1时，a1?S1?2a?1，当n?2时，an?Sn?Sn?1?
2(a?2)n?(3?a).当n?2时，an?1?an?2(a?2)，而a2?a1?a?4.若数列{an}是等差数列，则2(a?2)?a?4，所以a?0.则an??4n?3.
42、形如：an?1?an+f(n)的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如：（约项）法.
［举例］数列{an}满足a1?1,an?3n?1an?1an?g(n)的递推数列，求通项用连乘
?an?1(n?2)，求数列{an}的通项公式.
分析：解决这种递推数列的思想方法实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差数列的基本递推关系：
an?1?an?d，等比数列的递推关系：
n?1an?1an?q.
an?an?1?3an?1?an?2?3由题知：an?2?an?3?3n?2n?3???a2?a1?31???n?13(1?3)?n?1n?2?3???3??，又a1?1，所以?(n?2)相加得：an?a1?32????第 17 页 共 47 页
an?3?12n(n?2)，而a1满足此式，则an?3?12n(n?N).
43、一次线性递推关系：数列{an}满足：a1?a,an?1?b?an?c,(a,b,c是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当b?1时，此数列是等差数列，当c?0（b?0)时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令
bn?an?k)化成等比数列求解.
［举例］已知数列{an}满足：a1?1,an?1?2an?1,(n?N)，求此数列的通项公式.
分析：由an?1?2an?1得：an?1?1?2(an?1)知数列{an?1}是等比数列，首项为2，公比为2，所以an?1?2，知an?2nn?1.
44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项.
［举例］某企业去年底有资金积累a万元，根据预测，从今年开始以后每年的资金积累会在原有的基础上增长25%，但每年底要留出b万元作为奖励金奖给职工.企业计划用5年时间使资金积累翻一番，求b的最大值.
分析：与年数相关的应用题在解答过程中要注意项数与年数之间的关系，在设数列时就要指明.特别注意年底、年初的不同. 设从今年开始每年底该企业的资金积累为an万元，则a1?a(1?25%)?b?54a?b（万元），
an?1?an(1?25%)?b?为首项，
54an?b，则an?1?4b?554(an?4b).所以数列{an?4b}是以a1?4b?54a?5b54为公比的等比数列，所以an?4b?(45n?155n?1a?5b)()，an?4b?(a?5b)().由题知a5?2a，4444则4b?(1.25a?5b)(1.25)?2a，求得：b?0.13a.即b的最大值大约为0.13a.
45、常见的极限要记牢：limqn??nq?1?1,?nn??0,|q|?1，注意limq存在与limq?0是不相同的；若
n??n????不存在，|q|?1或q??1f(n)g(n).
f(n),g(n)是关于n的多项式函数，要会求limn??［举例1］求下列各式的值limn??ann?2nn2?a(a2?4)
分析：对于指数型的分式型极限，一般是分子、分母同除以幂底数绝对值较大的幂，这样可以求出极限.
2n1?()()?1a2??1. ?1；当|a|?2时，原式?lim当|a|?2时，原式?limn??n??2nan()?11?()a2an第 18 页 共 47 页
［举例2］若limn??an2?bn?23n?4?1，则a?＿＿＿＿；b?＿＿＿＿.
分析：对于分子分母是关于n的整式的分式型极限，若分子的最高的幂指数大于分母的最高的幂指数，则此式极限不存在；当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时，极限是分子、分母的最高次幂的系数比；当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时，极限是零.
注意到此式极限为1是存在的，由上分析知a?0,46、理解极限是“无限运动的归宿”. ［举例］已知△ABC的顶点分别是A(0,b3?1，所以a?0,b?3.
2n),B(0,?2n),C(4?2n,0)(n?N)，记△ABC的外接圆面积为Sn，则
n??limSn?＿＿＿＿＿.
分析：本题若要先求出三角形ABC的面积后再求极限则是“漫长”的工作，注意到当n??时A、B、C点的变化，不难看出△ABC被“压扁”成一条长为4的线段，而此线段就是此三角形外接圆的直径.从而有limSn?4?.
n??第六部分 排列、组合与概率
47、解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么，其次要分清完成该事件是分类还是分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即淘汰法）思想.简单地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？怎么做！”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问题，更要注意“特殊元素、特殊位置”之间的关系，一般地讲，从正面入手解决时，“特殊元素特殊照顾，特殊位置特殊考虑.”相邻问题则用“捆绑”，不邻问题则用“插空”.特别提醒：解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏.
［举例］对于问题：从3位男同学，5位女同学这8位同学中选出3人参加学校一项活动，求至少有2位女同学的选法种数.一位同学是这样解的：先从5位女同学中选出2名有C5种选法，再在剩下的6位同学中任选一位有C6种选法，所以共有
21C5?C6种不同的选法.请分析这位同学的错误原因，并给出正确的解法.
分析：这位同学的解法中犯了计数重复的错误.不妨设女同学的编号为A、B、C、D、E，如先选的C5为A、B，再选的C6为C，和先选的为A、C，再选的为B是同一种选法.本解法中作为两种不同的结果计数，所以重复.
正确解法有两种：方法一：（分类讨论）选出的3人中至少有2名女同学，则为2女1男有C5?C3种不同选法，3位都为女同学有C5种不同选法.两种结果都能完成这件事，所以有C5?C3?C5?40种不同的选法.方法二：（去杂法）8位同学中选出3人不满足条件和选法为3男与2男1女.所有选法为C8，则满足题义的选法为：C8?C3?C3?C5. 48、简单地说：事件A的概率是含有事件A的“个体数”与满足条件的事件的“总体数”的比值.现行高考中的概率问题实际上是排列、组合问题的简单应用.
［举例］定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，集合A?{1,3,5,7,9}的真子集可以作为A的“孙集”的概率是＿＿＿＿＿＿.
分析：本例是“即时性”学习问题.要正确理解“孙集”的定义——“真子集的真子集”.元素为n个的集合的真子集有2第 19 页 共 47 页
n332121212133321?1
个，其真子集的元素最多有n?1个.有n?1个元素的集合的真子集最多有n?2个元素.所以有n个元素的集合的“孙集”实际上是原集合中的小于等于n?2个元素的真子集.故其概率?C5?C5?C5?C52?150123?2631.
第七部分 向量
49、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，
12??(AB?AC)表示
△ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），|AB|表示A、B两点间的距离；以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量a+b、a?b（或b?a）. ［举例］已知非零向量a,b满足：|a?b|?|a?b|，则向量a,b的关系是――――（ ） A、平行； B、垂直； C、同向； D、反向.
分析：注意到向量运算的几何意义：|a?b|与|a?b|表示以a和b为一组邻边的平行四边形的两对角线的长.我们知道：对角线相等的平行四边形是矩形，从而有a?b.选B.
另一方面，本例也可以利用向量的运算来进行求解.|a?b|?|a?b|?(a?b)22?(a?b)，化简得：a?b?0，有
a?b.
50、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.与非零向量a同向的单位向量a0?a|a|，反向的单位向量a0??a|a|.
［举例］已知△ABC，点P满足AP??(AB|AB|?AC|AC|),(??R)则点P的轨迹是（ ）
A、BC边上的高所在直线； B、BC边上的中线所在直线； C、?A平分线所在直线； D、BC边上中垂线所在直线. 分析：这是一道很“漂亮”的与向量相关的问题.AP??(AB|AB|?AC|AC|),(??R)，它涵盖了单位向量、向量加法的
意义、数与向量乘积的概念等.注意到
AB,AC分别是AB,AC上的单位向量，则AB|AB|?AC|AC||AB||AC|是以AB,AC上
????????AB??的单位向量为邻边的菱形的对角线上的向量，所以AP??(???|AB|轨迹是?A平分线所在直线.选C.
????AC????)所在直线是?A平分线所在直线，则P点的|AC|???51、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积a?b?|a||b|cos?a,b?；其中|b|cos?a,b?可视为向量b在向量a上的射影.
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