2-2、由测量知道弹簧振子的固有频率是每秒50周，若将质量块的质量增大5g时，其固有频率变
为每秒45周。试求弹性系数。
解：
f?1D2?m?m?D4?2f2 ???m?D?4?2?502??D?5?10?3?2?502?452?N/m
??m?5?10?3?D4????502?452???2103.784?2?4522-3、一台机器为隔振而装在一组弹簧上，在平衡时由于机器的质量而使弹簧压缩了25mm。求竖
直方向振动的角频率。
解：mg?kx0，k/m?g/x0
?0?k/m?g/x0?10/(25?10?3)?20(rad/s)
2-4、如题图2-4所示，由弦与质点块组成的振子。弦长l，受张力固定于两端。质点块质量m距两端各为a和b。当质点引离平衡位置x时（x?l），试问（1）m远大于弦的质量时，质量块
所受恢复平衡力等于什么？（2）这时突然去掉外力，使之作垂直于弦平衡方向振动，其最低固有频率为多少？当改变质点位置a为何值时，其振动频率值最低。 解：设张力为T，由于x?l
故有：xx2?a2?xa；xxx2?b2?b
（1）所以：
F?T?xa?T?xb?Tx??11??a?b??
（2）撤离外力，所以：F?Dx?Tx??1?a?1?b???DT?11?m?m??a?b??；
而最低固有频率：
fT?0?1D12?m?2m?1??a?1?b?? 即
fT?11?1T/m0?12?m??a?l?a???2?a(l?a)
f0最小值，
即分母最大值，即a(l?a)最大值点，所以
a(l?a)?0对a求导有：l?2a?0?a?l/2代入上式得到：f1T0min?2?ml 2-6、在一弹性系数为k的弹簧上加一重物M组成一振动系统，其固有频率为
f0。
（1）若使系统的
f0改变，可采用什么办法？（2）若重物加重一倍而使f0保持不变。试问应添加几只弹簧？如
何连接？（3）若重物减轻一半但频率不变，应增加几只弹簧？如何连接？
解：（1）
f1k0?2?m，改变k或m可使系统的固有频率改变。
（2）
f1k'0?2?2m，k'?2k，用两只弹簧并联 （3）
f?1k'02?m/2，k'?k/2，用两只弹簧串联 2-7、求出题图2-7中所示振动系统的固有频率。 k k M x k M M k k
a l m b M k k M 题图2-4
M
质量M受重力作用使系统长度变成多大？（2）若将此系统横在桌面上，弹簧k2一端固定在垂
d2x?2M2??kx
dt直墙壁上。质量M于桌面无摩擦，系统作自由振动的固有频率是否改变？为什么？ 解：（1）Mg?1f1?k
d2x?2M2??2kx
d2x?M2??2kx
?k2x，x?MgMg，系统总长L?L1?L2?
k2k22?2Mdtdtd2xd2?Mdt??2kx ?2Mx2dt2??3kx
?f?1k2k2?M
?f?12k2?M
?f?12?M ?f?13k2?2M 双弹簧串连相接
假设两根弹簧在质量m的重力作用作用下，产生的静态位移分别为 和 ，于是每一弹簧所产??2生的弹力分别为 ? D ? 和 ? D111 2，因为两根弹簧是串连相接每一根弹簧受到质量?2m的拉力都相等，且等于mg，因此根据静力学平衡条件可得：
mg?D????mgmgD?D2
1?1?D2?21?2???mg1D 1D2D1D2 mg?D1D2D1D
D??D??D?21?D2D1?D2双弹簧并连相接
假设两根弹簧在质量m的重力作用作用下，产生的静态位移相同均为 ，于是每一弹簧所产生的?1弹力分别为 ? D 1? 1 和 ? D 2?，2这时作用在质量m的上共有三个力，质量多重力和两根弹簧的弹力。
因此根据静力学平衡条件可得：
mg?D1?1?D2?1??D1?D2??1?D?D1?D22-8、 由质量M和两只弹簧组成一振动系统。在弹性系数k1、原长L1的弹簧一端挂上质量M，另一端与弹性系数k2、原长L2的弹簧相连。试求：（1）弹簧k2另一端固定于天花板时，由于
（2）固有频率不变，为?0?k2/M
2-11、竖直悬挂的弹簧振子其质量块作无阻尼振动时的两个极端位置离一固定水平面的高度各
为11.5cm和12cm，在5s内达到最高的位置15次。若质量块的质量为1g，试求其振动的频率、
位移振幅和弹簧的弹性系数。
解：振动的平衡位置距离该固定水平面的高度为
（11.5?12)/2?11.75(cm) 位移振幅为12-11.75=-.25(cm)
在5秒内达到最高位置15次，则频率为15/5=3(Hz)
D1
fk0?1 D1 2?m
D2 D2 k?4?2f222?30m?4??3?10?0.3553(N/m)
m m 2-14、一弹簧振子作简谐振动时的振幅为A，试问当其振动的动能于弹性势能相等时的位移瞬时值为多大？
解：1M(?2112DA2A2A20X)?2?2DAX?2M?2?02?2
2-15、一质量块m能在水平作面上无摩擦地滑动。质量块连一条很轻的线，线穿过作面上的一个
很小的孔并可无摩擦地滑动。线的另一端受恒力F向下拉。这质量块（比孔大，不会穿过小孔）开始时静止在离孔距离D处，然后运动。试列出质量块的运动方程并解之。运动与否是周期性的？如果是，求其频率，且频率与D有何关系？ ?v(t)?a(t?t?)?v0?x(t)?F2FDt?2mm
1F222FDa?t2?t?2???v0?at???t?t???x0?(t?t0)?2(t?t0)?x022mm?F22FDF2mD2t?2t?3D?(t?2)?D2mm2mFD 0 d2xm ②当质量块运动到顶点后返回，再次过0点时所用的时间为：
解： 在右侧时运动方程为： mdt2??F， 有
：tv(t)??adt?a(t?t?)?v0a是常数t?F tt x(t)??v(t)dt???at?v10?at??dt?a?t2?t?2???v0?at???t?t???xt?020Fx0?Dv(t)??F此处a??m； v0?0
?mtt??0x(t)??F 2F2mt?x20??2mt?D① 当质量块运动到0点时所用的时间为：x00?x(t)??F2mt2?D?0?t2mD0?F 此时速度：vF00?v(t0)??mt2FD0??m 由于惯性作用继续向前跑 a?F运行到左侧时运动方程为：md2xdt2?F；m：t??t2mD0?Fx0?x00?0v0?v2FD
00??mx x01?x(t1)?F2m(t2mDF)2?D?0?t32mD1?21?2mDF（另一根F舍去）
F此时速度为：v01?v(t1)?mt2FD2FD1?2m?m 由于惯性作用过零点后继续跑
此时运动方程同①中最开始时的运动方程，
md2xdt2??F；
D a??Fm 0 mx0?x01?0x 此时
：
t??t2mDv0?v2FD 1?301?Fm???v(t)??F(t?t?)?vF2FD?0??F ?mmt?4m???2?? x(t)?1at2?t?2??v?at???t?t???x0??F2m(t2?t?20)?42FDm(t?t?)?x0??F2m(t?42mD2F)?D③当质量块运动到顶点后返回，第三次过0点时所用的时间为：
x02?x(t2)??F2m(t2mD22mD2?4F)?D?0?t2?5F（另一根
32mDF舍去）
此时速度为：v02?v(t2)??Fmt2?42FDm??2FDm 由于惯性作用继续向前跑 此时运动方程同第一次过零点后的运动方程相同（受力相同），就连初条件也相同，只是初始时间不同，所以可得：
a?Fmx0?x02?0此时
：t??t2mDv2?50?v02??2FD
Fm????v(t)?F?m(t?t?)?vF2FD0?mt?6m???x(t)?12a?t2?t?2???v0?at???t?t???x0?F2m(t2?t?2)?62FDm(t?t?)?x0?F2m(t?62mDF)2?D
可见其运动是周期性的。周期为TmD0?42F?f?1F042mD
2-19、 试绘出弹簧振子系统位移x(t)?10cos?t?5cos3?t?5cos5?t的图形：
2-31、试证：弹簧振子受迫振动中的位移振幅的低频极限值、速度共振时的速度振幅值及加速度振幅的高频极限值均与频率无关。 解：假设弹簧振子受迫振动外力为：F?F0ej?t，弹簧弹性系数为
D，质量块m，阻尼系数为
Rm
（1）则运动方程为：md2x?dx?dt2?Rmdt?Dx??Fj?t0e 令x?(t)?Bej?t带入方程得位移响应为：x?2(t)?F0ej?t 振幅：xF0m(?)?j???Rmj???m??D??????????R2?2
m??m??D?????
? 位移振幅的低频极限值：xm(?)??0?F0?D?2＝F0D与频率
?am(?)?????F0D??2＝F0m
?R2m???m???????0无关。
（2）由位移响应可得速度响应：v?F02(t)??ej?t
??Rm?j???m??D???????其振幅为：
vm(?)?F02
共
振
R2m????m??D?????vm(?)0???0?F?D?2＝F0R2R
mm???m????????0?速度共振时的速度振幅值与频率无关。
（3）由速度响应可得加速度响应：a??F02(t)??ej(?t??a)
?Rm?j??D????m???????其振幅为：
aF0m(?)??2
极高频R2?D?m???m?????时
：
时：
R2m???m?????????加速度高频极限值与频率无关。
2-32、在弹性系数为150N/m的轻质弹簧上挂一0.5kg的质量块，系统的阻力系数是1.4kg/s，系统所受外力F?3cos6t N。试求：（1）位移振幅、速度振幅和加速度振幅的稳态值；（2）一个周
期内平均损耗功率；（3）系统的速度共振频率及其在此频率下的位移振幅、速度振幅、加速度振
幅和一周期内的平均损耗功率（外加力的幅值同前）；（4）系统的品质因数Qm及半功率点频带宽度。
解：已知m?0.5kg；D?150N/m；Rm?1.4kg/s
又F?3cos6t?Rj?te?3ej6t??Re?F0e??F0?3 N；??6；
由复数的运动方程：md2x?(t)dx?(t)dt2?Rmdt?Dx?(t)?Fj?t0e ?x2(t)?F0j(?t??x)；?R2?D?2em???m??????m??D??0.5?150?????????arctg?6???x?arctg?6????3.640
?Rm1.4??2????2?（1） 可解得：位移稳态解的幅值响应函数值：