xm(?)?F02?32?R2???D?61.4?(0.5?6?150/6)?0.023 m
m?m?????速度稳态解的幅值响应函数值：
vm(?)?F02?3R2???D?1.42m/s
?(0.5?6?150/6)?0.14 m?m?????加速度稳态解的幅值响应函数值：
am(?)??F02?3?6R21.42?(0.5?6?150/6)?0.817 m/s2
m???D??m?????2） 由上可
得
：
v?(t)?F0ej?t?F0?vv2ej(?t??vmej?t??R?D?m?j??m?????R2?D?m???m?????
?v(t)?R?j(?t??evmev)??vmcos(?t??v)m??D
?v?arctg?R?arctg(?15.714)?cos?v?0.0635
m
TTTW?11T?v(t)?f(t)dt?0T?R?v2(t1?R22m)dt?mvmcos(?t??v)dt0T02T?Rmvm2T??1?cos2(?t??v)?dt0R2mvm1.4?0.142?2?2?0.013WTTW?1T?v(t)?f(t)dt?1?vmcos(?t??v)?F0cos(?t)dt0T0TT?1T?v11mF0cos(?t??v)?cos(?t)dt??vmF02??cos?2?t??v??cos?v??dt0T0
T?vmF0vmF02T?cos?2?t??v?dt?cos?v02?vmF02cos?0.14?3v?2?0.0635?0.013335W（3） 系
统
的
速
度
共
振
频
率
为
：
?D0?m?1500.5?17.32?f?010?2??2??17.32?2.7566 Hz xF03m(?0)?17.32?0.1237?R2(D?2?)?1.42?(0.5?17.32?150/17.32)2m????m????????0 m
vm(?0)?F02?32R2???D?17.32?1.4?(0.5?17.32?150/17.32)2?2.1428m?m????????0 m/s
a017.32?3m(?0)??F2?R2?D?1.42?(0.5?17.32?150/17.32)2?37.1143m???m????????0 m/s2
（) m??D?v?arctg?R?arctg(3.629?10?4)?cos?v?0.9999
m???0Wvm???0F0????02cos?v?2.1428?3/2?0.9999?3.2138 W
（4） Q?m?T???m?0?0.5?17.321.4?6.186 0?2?RmR?m02m
?f?f02.7566Q??0.4456 Hz
m6.1862-38、一质量块m固定在弹性系数为k的弹簧的下端，弹簧上端以振幅Bej?t上下振动，质量块
的摩擦力正比于质量块和弹簧上端的相对速度（dr/dt），这里r?x?Bej?t。试求质量块
的运动方程，并证此质量块的稳态运动是
x?Rm?j(k/?) j??m?(k/?)?Bej?tR
m?x
落
后
于
弹
簧
顶
端
位
移
的
相
角
是
arctan???m?(k/?)?/Rm??arctan?k/(?Rm)?
x的振幅值等于什么？x的初相角和振幅在极低频率和极高频率时各等于什么？ 解：①设摩擦力与速度的比例系数为
Rm
则
质
量
块
所
受
摩
擦
力
可
表
示
为
：
F??RdrRd?x?Bej?t?dxm??m??Rm?j?RtdtdtdtmBej?
而质量块所受的弹簧弹力为：
f??k(x?Bej?t)??kx?kBej?t
因此有运动方程：md2xj?dxdt2??kx?kBet?Rmdt?j?Rj?tmBe ?md2x?Rdx2m?kx?(k?j?Rm)Bej?tdtdt
设
稳
态
解
x(t)?Aej?t代入上式得：
?mA?2?j?ARm?kA?(k?j?Rm)B
?
A?(k?j?Rm)Bj??Rm?j(k/??)Bj?R??Rm?jk(?/)
m?m?2?kj????k??Rj??Rm?j??m?????????m??k?Bm????? x(t)?Rm?j(k/?)Bej?tR?j?k? 即得证。 m??m?????②
顶端位移为Bej?t因此由公式可得：
22Bej?tBej?tR??m??k??R2??m??k???ej?12?k?m?jm?Rm?x(t)?R????m?j(k/?)Bej?tR??????m?????j(?1??2)m?j(k/?)2?2eR?k?R2?k?2?k?m??m?j??m??????????ej?2Rm??????
?其?m??k?中
?1?ar????Rc?t；g?2??arctg??k?m?R?；
?m?????????m??k?1??2?arctg????arctg?k? ?R???m?R????m??x落后于顶端位移的相角为?，即得证。
③
由
上
可
知
22x(t)?Rj(k?Rm???k??m?Bej?t/?B)???ej(?t??2???xj?t?1?)??R??m??k?2mem?j????R2?k?m???m?????2R2??k?m?x的振幅为
x????m?B，相角为：
R2????m??k?2m??????(???arctg?m??k?????arctg?k?1??2)?R???
m?R????m?④
极
低频率时：2R2?k?m???lim??0x???R222m??km?lim??0B?R2?k?2lim??0BR2222?B m???m????m???m??k??2R2m???k?极高频率时：?lim???xm??lim???B????2?0 R2??k?m??m?????极低频率时：
??m?k??lim???????k???????0??lim??0??arctg????arctg?????(?)??0 ???Rm?????Rm??22????m?k??极高频率时：?lim??????lim???????arctg??????R??arctg??k???????? ?m??Rm2?????????2-43、有如下的冲击力作用在弹簧振子系统的质量块上，试求此振动系统的位移响应函数。(21)F(t)???0(t?0)?a??t0e(t?0)(??0)(a0为常数)
解： 设弹簧弹性系数为D，质量块质量为m，则运动方程为
2
mdx(t)?Dx(t)?ad2x(t)0??tdt20e??t ?*
adt2??20x(t)?me 对*方程两侧作富丽叶变换有：
mF??d2x(t)??dt2???DF?x(t)??F?F(t)? ???m(j?)2?D??X(?)?F(?)?X(?)?F(?)D?m?2
因
为
??F(?)?F?F(t)?????F(t)e?j?tdt?????tj?t??adt?a000e?e??(j???)e?(j???)t?a00??j?
代入上式得：
X(?)?F(?)a0a0/D?m?2????j???D?m?2??m???j????22 0???求其富丽叶反变换：
?x?(t)?F-1?X(?)??1???a0/ma0??ej?tj?t2??????j????2ed??0??2?2?m??????j????0?????0???d?2?ja0??ej?tej?t??ej?0t?2?m???a??t?0j?e????22???0????j????j????0??????0??m??20??22?0(??j?0)?a?0?e??tej(0t??)?mj????22???????2??2??arctg?0?0??2?00?????
??atx(t)?Re???0e??ej(?0t??)j????????a0sin(?0t??)??arctg???0??m???2??2?02?0?2??20????2m?20?2??0????
2-46、如题图2-46有两个耦合振子。试求出：（1）耦合振动方程；（2）?22221、?2、??、??各
等于多少？（3）分别以??和??作简正振动时两质量块位移振幅的比值等于什么？（?1、
?2为振子2或振子1固定不动时分振子的固有振动角频率；?? 为耦合系统振动的固有角
频率 k1x1 k2(x2?x1) 解：分析受力： x1 k
2(x2?x1) k1x2 x22 mdx1dt2?k2(x?2x)?k1x11（1）则对应运动方程为
?
md2x2dt2??k2(x?2x)?k1x12d2x1dt2?(k2?k)1mx1?k2mx2?0① d2x2(k2?dt2?k1)mx2?k2mx1?0令??k20?k1m；K?k2k1?k；代入①式得到：
2d2x1dt2??2x201?K?0x2?0 ② K决定了振子2对两个振子1的耦合作用程d2x2dt2??2K?20x2?0x1?0度
（2） 此方程组为二阶齐次线性微分方程组，它的解为指数形式：
x1(t)?Ae?t,x2(t)?Be?t代入到②式中得到：
??2??2?20?A?K?20B?0??20?K?20* ? ?2??2? 0?B?K?20A?0?K?222?0 0???0???2??220??K2?420?0??2??0(?1?K) 此特征方程式，有四个根：
假设K?1 即?2?0，?有两个值，以??、??表示
有：
???j?01?K??j?? ? 2? ? ? 20 (1 ? ?K?)?j?01?K??j??
?2?22k1?k21?2??0?m
?22k1?k2k?k2k2???0(1?K)?m(1?K)?1m(1?k?2k2k)?11?k2m
?2?2??0(1?K)?k1?k2k?k2k2km(1?K)?1m(1?k)?11?k2m
（3）由上可得方程的解为：
j??tj??t'?j??t'?j??tx(t)?Ae?Ae?Ae?Ae 1????'?j??t'?j??tx2(t)?B?ej??t?B?e?B?ej??t?B?e
其中A+，A+`，A-，A-`，B+，B+`，B-，B-`有关系（通过方程*形成的关系），真正独立的只有4个，并且这4个独立量由初条件确定。*式中取第一式有
所以二者振幅之比为：
xm1?1
xm22-47、对于题2-46耦合系统，设在t=0以前有一振子维持在离平衡位置1cm处，而另一振子维持
在平衡位置上，在t=0时刻两者同时释放。（1）求出耦合系统作自由振动的位移解；（2）若系统的耦合系数k?1时，证明：该系统两质量块的振动位移为：
(???)
220??j??A?K?B?0?B??202(?2??0)2K?0??j??2?02???A??B??A???A?2K?0
?k?0x1?cos??2?t?cos??0t? ?解：（1）设x01=0.01m，x02=0，
22?0????????A?? B?A?2K?0j??t?j??tj??t?j??t?????cos(??t)??A??A???cos(??t)x1(t)?Re?Ae?Ae?Ae?Ae????????A??A?j??t?j??tj??t?j??t?????cos(??t)??A??A??cos(??t)x2(t)?Re??Ae?Ae?Ae?Ae?????????A??A???j??2?02???A??B??A??A?2K?0(???)
220??j??A?K?B?0?B??202(?2??0)K?20
???B?
??0.01x01?A??A??A??A??????A??A????0x02???A??A?
?
?????A?? A?2K1?1212?；
???A??A??0.00 5A??A
得
出
：
j??t?j??t????cos(??t) Ae?Ae以??作简正振动时：x1(t)?Re???????A??A?j??t?j??t???cos(??t)?x2(t)?Re??Ae?Ae???????A??A?
?x1(t)??x2(t)
所以二者振幅之比为：
??????????????tt????22????????????????x2(t)?0.005??cos(??t)?cos(??t)???0.01?sin??t?sin??t?22????x1(t????t???t??)?0xm1??1，以??作简正振动时，同理可得：
xm2j??t
（2）系统的耦合系数即K?1，所以有
??cos(??t)????A??A? ?x1(t)?x2(t)
j??t?j??t???x2(t)?Re?Ae?Ae???cos(??t)?????A??A?x1(t)?Re??A?e?e?A??j??t????01?K??0?1?
??K2??;?????01?K??0?1???K??2?