SE?B?kzcos(kzL)cos(?kzt??kz)?m?B??2kzsin(kzL)cos(?kzt??kz)
kzkz?SEkSELS?LMzcos?kzL??m?2kzsin?kzL???kzL?tan?kzL??mc2??
0mm由题可知此时的基频f?f1c02?f1??1?4?16L?kz1L?cL?带入到上式中有
08??kzL?tan?kzL??MM8Mm?m??k?tan?k???371.5M
zLzL??tan??/82-95、长度为L，质量为M的细棒，一端自由，其另一端与固定物相连。若固定物的反作用相当于一机械抗（?jk/?），式中k为弹性系数，?为角频率，试求棒作纵振动的基频。 解：均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：
???2?(z,t)1?2?(z,t)??z2?c2?t2?0?0???(z,t) ???z?0z?0反
作
用
表
示
为
：
Fu?STzz?又因为z?Lu??jk/z?LT??zz?E?zz??(Tyy?Tzz)?E?zz?E?z
SE??
u??zzz??t；
STu??zz?L????jk/?
?tz?L?(z,t)???Acos(?z)?Bsin(?z)???Ccos(?t)?Dsin(?t)2?E
?c?其中，c00c0??由自由边条件（应力为0）可得：B＝0
所以形式解可化为：?(z,t)?Acos(?cz)?Ccos(?t)?Dsin??t??，
0?SEA?L)?Ccos(?t)?Dsin(?t)?由作用力边条件得：
csin(?0c0??jk/?
?A?cos(?cL)?Csin(?t)?Dcos(?t)?0SE??Dsin(?t)??csin(?0cL)?Ccos(?t)?0??jk
cos(cL)?Csin(?t)?Dcos(?t)?02-96、长为L的细棒在其一端受到纵向力F0cos?t的作用，另一端为自由端。（1）求出棒中驻波振幅的表示式；（2）求棒的输入机械阻抗；（3）若棒为无限长，这时其输入机械阻抗为多少？（4）如果棒为铝质，长度为1.0m，横截面积1.0?10?4m2，作用力的幅值为10N。试就情况（1）
画出在200Hz到2000Hz范围内棒的受力端的振幅与频率的关系；（5）证明：当频率较低或棒较短时本题中长为L的棒相当于集中参数系统的一个弹簧，其弹性系数为k?ESL（E是弹性模量，S为截面积）。
解：（1）求出棒中驻波振幅的表示式；
均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：
???2?(z,t)1?2?(z,???z2?t)c22?00?t(z,t) ?????(z,t)???z?0;SE?z?F0cos?tz?0z?L形式解如下：
?(z,t)???Acos(???2cz)?Bsin(z)??Ccos(?t)?Dsin(?t)?其中，c0?E
?0c0??由自由边条件（应力为0）可得：B＝0
所以形式解可化为：?(z,t)?由
激
励
Acos(力
?c0z)?Ccos(?t)?Dsin??t??，
作
用
边
条
件
：
画出在200Hz到2000Hz范围内棒的受力端的振幅与频率的关系；
受力端振幅：
F??Fcot(??)0.007cot()??(z,t)?z??A?sin(?L)?Ccos(?t)?Dsin??t???F0cos?t可得：
z?Lc0c0SE?D?0;AC??F0c0F0 SE?sin????cL????S?c???0?sin?L?0??c0?所以?(z,t)??F0cos(?S?c?sin???L?cz)cos(?t) 00?c?0?所以驻波振幅表示式为
F0cos(?S?c?sin???cz) 0?cL?0?0?（2）求棒的输入机械阻抗：
u(z,t)???(z,t)F0?z?cos(?S?c???cz)sin??t?
00sin??cL?0?输入机械阻抗为ZF?F0cos?tm?u???S?c0cot(?t)z?LF0cos(?L)sin??t?cot(?
S?c????c0cL)00sin?cL?0?（3）若棒为无限长，这时其输入机械阻抗为多少？
当L??时，机械阻抗ZS?c0cot(?t)m?cot(?
cL)0（4）如果棒为铝质，长度为1.0m，横截面积1.0?10?4m2，作用力的幅值为10N。试就情况（1）
0cos(5150?5150S?c???cL)?0S?ccot(cL)?1000?01.0?10?4?2700?5150??0?sin??cL?0?
（5）证明：当频率较低或棒较短时本题中长为L的棒相当于集中参数系统的一个弹簧，其弹性系数为k?ESL（E是弹性模量，S为截面积）
（此题中?(z,t)??F0cos(??t)）
S?c???cz)cos(00?sin??cL?0?如果一端固定一端受力，则可得：?(z,t)??F0?sin(?S?c???cz)cos(?t)
00?cos?cL?0?当频率较低或棒较短时有：cos???z??c??1;sin???L?0??c???0cL； ?0则
有
F?0L?(zt??c0S?c?t?Fc?tF?t0?S?c2?F?tSE??DSEe?,0DeL
LL即得证。
2-97、一根直径0.01m的铝棒，在何频率下棒中横振动相速度与纵振动相速度数值相等？
解：由棒的弯曲振动波动方程：
?2?(x,t)42??(x,t)2EI?t2??a?x4 其中：
a?S?
令，?(x,t)?Acos(?t?kx??)；代入棒的弯曲振动波动方程： 得：?2?(x,t)2?4?(x,t)4?t2???Acos(?t?kx??)??x4?kAcos(?t?kx??) ??2?a2k4?相速度：cdx?p?dt???a
(?t?kx??)?常数kI,棒截面的转动惯性矩:I???z2ds??R4s4;
纵振动时相速度?cpl?dxdt???cl
(?t?kx??)?常数k二
者
相
等有：
2?a?c2S?EI?c24?R?24?4?2700l???cllE?R4?5150?7.1?1010?0.012?2.07?106rad/s
6所以有
f??2??2.07?102?3.14?3.29?105Hz，
即在频率为3.29?105Hz时棒中横振动相速度与纵振动相速度数值相等。
2-98、一根一端夹住的长20cm的退火钢棒，如果截面是边长1cm的正方形，则四个最低的横振动频率是多少？如果截面是半径为0.5cm的圆形，则又如何？如果截面是一边长为b，一边长为2b的长方形，试问当棒的最低频率是250Hz时，b必须是什么数值？（对钢??7700kg/m3，
E?2?1011N/m2）
解：由棒的弯曲振动波动方程：
?2?(x,t)42??(x,tEI?t2??a)?x4 其中：a2?S?
x?0端嵌定:Y(x)x?0?0;dY(x)dx?0边条件：
x?0d3Y(x)d2Y
x?L端自由:(x)dx3?0;?0x?Ldx2x?L方程形式解：
??(x,t)?Y(x)T(t)??{A????D??ch(()x)?B?sh(()x)?C?cos(()x)?sin(()x)}cos(?t????aaaa)
带入边条件得：A??C??0;B??D??0
A?????{ch(a)L?cosa(L)?}?Bs{h0
a(?L)sian?(L)}A????
?{sh(a)L?sina(L)?}?Bc{ha(?L)coas?(L)}0A?,B?不同时为0的充要条件：{ch(??a)L?cos(a)L}{sh(??a)L?sin(a)L}{sh(??a)L?sin(a)L}{ch(???0
a)L?cos(a)L}?{ch(?a)L?cos(?a)L}2?{sh2(??a)L?sin2(a)L}（?sin2x?cos2x?1;ch2x?sh2x?1)
?ch(??a)Lcos(a)L??1若?n为方程chxcosx??1的第n个根，则，可得：?1?1.875;?2?4.694;?3?7.855;?4?10.995
2则相对于?n??naL?fa??n?n?2???L??
正方形时，转动惯性矩为：
?b4EIEb419.5?1010?10?4I12?a?S??12b2??12?7700?14.527 所以相对应的四个最低频率分别为：
222fa?22???2n??L?1?1.875?1???2???L???14.53?203Hz;f????4.694?2?????f1???f1?12741??1.875?Hz;22f??3?f??4?22???f?7.855?3??1???f1??1.875?1?3567Hz;???f?10.995?4??1???1??1.875?f1?6989Hz
如果截面是半径为0.5cm的圆形，则转动惯性矩为：
I??b4?Eb419.5?1010?0.25?44?a?EIS???104?b2??4?7700?12.58
所以相对应的四个最低频率分别为：
2222fa??n??1??1.875?31?2???L??2??L???12.58?176Hz;f????4.694?2?????f1??1??1.875??f1?1103Hz;
2222f????3?f??3??10.995????f?7.855?31???f1?3088Hz;4??1??1.875????f1???f1?6051Hz1??1.875?如果截面是一边长为b，一边长为2b的长方形
则转轴垂直于长为b的两对边：I?b424?b424?a?EIEb4Eb2S??24b2??24? 所以相对应的最低频率为：
a??21??L?2Eb2f1?f1?2???L???250Hz?a?500??????1?24?2
?b?500???L?24????1?E?20?24?77001.875219.5?1010?0.0173m?1.73cm2-99、一端固定一端自由，长为L的细棒作横振动。若已知基频时自由端的位移振幅为?0，试求
以?0来表示的棒的基频位移。 解：由棒的弯曲振动波动方程：
?2?(x,t)42??(EI?t2??ax,t)?x4 其中：a2?S?
边条件：
x?0端嵌定:Y(x)dY(x)x?0?0;dx?0x?032x?L端自由:dY(x)dY(x)
dx3?0;?0x?Ldx2x?L形式解：
?(x,t)?Y(x)T(t)??{A?????ch(()x)?B?sh(()x)?C?cos(()x)?D?sin(()x)}cos(?t??aaaa??)
带入边条件得：A??C??0;B??D??0
A?????{ch(a)L?cos(a)L}?B?{sh(
a)L?sin(a)L}?0A????
?{sh(a)L?sin(a)L}?B?{ch(a)L?cos(a)L}?0A?,B?不同时为0的充要条件：{ch(??a)L?cos(a)L}{sh(??a)L?sin(a)L}{sh(?)L?sin?a(a)L}{ch(?)L?cos(??0
aa)L}?{ch(?a)L?cos(?a)L}2?{sh2(??a)L?sin2(a)L}（?sin2x?cos2x?1;ch2x?sh2x?1)?ch(?a)Lcos(?a)L??1
???a(?L)2???EI?n2?11.8752EIn?a(nL)2?S?(L)基频：f1?12??2?(L)S? ??21a2aa1?L2?1.875L2?3.516L2则
ch(??Ba)L?cos(a)LA??ch?1.875??cos?1.875?????sh(?sh?1.875A???1.348A?
a)L?sin(???sin?1.875?a)L当基频振动时其自由端位移振幅为?0可知：
A??ch?1.875??cos?1.875???B??sh?1.875??sin?1.875????0?A??3.337?0.99946?1.348??3.184?0.0327????0
?A???0.523?0B??1.348?0.523?0?0.7056?0
所以棒的基频位移即可表示出来
?(x,t)????xx??xx??3.156a0???0.7056????sh(1.875L)?sin(1.875L)???0.523???ch(1.875L)?cos(1.875L)????cos(L2t???)
2-100、长为L的细棒一端固定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移?(t?0)??0Lx，试求解
棒作横振动的位移表示式。 解：由棒的弯曲振动波动方程：
?2?(x,t)4?t2??a2??(x,t)?x4 其中：a2?EIS?
边条件：
x?0端嵌定:Y(x)x?0?0;dY(x)dx?0x?0d3Y(x)d2
x?L端自由:Y(x)dx3?0;dx2?0x?Lx?L形式解：
?(x,t)?Y(x)T(t)??{A?x)?B???
?ch(()?sh(()x)?C?cos(()x)?D?sin(()?aaaax)}cos(?t???)带入边条件得：A??C??0;B??D??0
A?????{ch(a)L?cos(a)L}?B?{sh(
a)L?sin(a)L}?0A????
?{sh(a)L?sin(a)L}?B?{ch(a)L?cos(a)L}?0A?,B?不同时为0的充要条件：{ch(?)L?cos(???aa)L}{sh(a)L?sin(a)L}{sh(??a)L?sin(a)L}{ch(???0
a)L?cos(a)L}?{ch(?a)L?cos(?a)L}2?{sh2(??a)L?sin2(a)L}（?sin2x?cos2x?1;ch2x?sh2x?1)?ch(?a)Lcos(?a)L??1