所以得到z＝L端各次谐波振幅为??4(L0?L)?sin?2n?1??
?(2n?1)???2（4）题有问题，不用作
（5）若有一恒定的纵向力作用于棒上，棒的固有频率是否会受影响？
不会。因为棒的固有频率只与棒长和棒中纵波波速有关 2－88、有一根长1m、横截面积为1?10?4m2的铜棒两端自由。试求：（1）棒作自由纵振动的基
频，棒中哪一位置的位移振幅最小？（2）如果使棒的一端负载加上一个0.18kg的重物，那么棒纵振动的基频变为多少？位移振幅最小的位置此时变到何处？（铜的密度8.9?103kg/m3） 解：均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：
???2?(z,t)1?2?(z,???z2?t)c22?00?t???(z,t)??(z,t) ???z?0;?0z?0?zz?L用 “分离变数法”求解可得：
?(z,t)???Acos(k?kzzz)?Bsin(kzz)??Ccos(?kzt)?Dsin(?kzt)?其中，kz?kzc，
0c2?E0?
由自由边条件（应力为0）可得：B＝0；
?Ankzsin(kzL)?C?ncos(?kzt)?Dn?sin(?kzt)??0 kz?sin(kzL)?0?kn?n?L（n＝0，1，2，?） ??n?nccn?Lc0?fn?02L基频时n＝1?f1?02L
?所以有?(z,t)??An?z)??n?c0n?c0?ncos(n?0L?Cncos(Lt)?Dnsin(Lt)??（n＝0，1，
2，?）
（1） 基频时n＝1；位移振幅最小即cos(?Lz)＝0处，
所以可得
?m?1)?2，?）?z?(2m?1)Lz?(22（m＝0，1，2L 棒中位移要求???z?(2m?1)2L????L?z?L2?0.5m即基频时棒中心处位移振幅最小。
（2）如果使棒的一端负载加上一个0.18kg的重物，那么棒纵振动的基频变为多少？位移振幅最小的位置此时变到何处？ 边界条件变为：
??(z,t)?z?0;SE??(z,t)??M?2?(z,t)2带入到形式解 z?0?zz?L?tz?L?(z,t)???Acos(kzz)?Bsin(kzz)??Ccos(?kt)?Dsin(??kzzkzt)?其中，kz?kzc，
0c20?E?
由自由边条件（应力为0）可得：B＝0； 形式解变为：?(z,t)??A?cos(kzz)cos(?kkkzt??z)
z由质量负载边条件可得：
SE?A?kzsin(kzL)cos(?kzt??kz)?M?A??2kzcos(kzL)cos(?kzt??kz)
kzkz?MA??2tg?k2zLkzcos?k?Mc?410?A?SEk01?10?12.2?10zsin?kzL?zL???k??zL?SEL0.18?3700?
又因为
E??c20所以
tg?knL??k?ML?0.181?10?4?8.9?103?0.2时基频变为
nL?S?f1??k1c0 2?所以此时?(z,t)??A?cos(kz)cos(?nknknt??kn) ?2??2????S??2??2?1???S?S(x)2?ES(x)2?E????t?x?x?xE?t2?x2S(x)?x?x2-90、一根长为L的棒两端卡住，绘出开头三个振动方式的形状。 解：均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：
即得证
2?f1?位移振幅最小即cos(z)＝0处，
c0所以可得
2?f1?(2m?1)?z?c02z?（m＝0，1，2，?）?z?(2m?1)c0 22f1???2?(z,t)1?2?(z,t)??z2?c2?t2?0 0???(z,t)?0;?(z,t)?0z?0?z?L其形式解为：
当m＝0时，?c0c0，即基频时在z?处位移振幅最小。 ??4f14f1?(z,t)???Acos(kzz)?Bsin(kzz)??Ccos(?kt)?Dsin(?kt)?其中，kz?kzzz?kzc0，
2－89、证明：一根具有变截面S（x）的圆锥形棒，其自由纵振动的振动方程为?2?1?S????E?t2?x2S(x)?x?x证明：
??2?2c0?E。式中?、E为材料的密度和弹性模量，?(x,t)为位移函数。 ?
由固定边条件（位移为0）可得：A＝0；
dx x
?sin(kL)?C?cos(?nnknkn?sin(?knt)?0 t)?Dn?细棒中取dz段体元，体元受力为：
f?f1?f2?S(x?dx)Txx(x?dx)?S(x)Txx(x)?sin(knL)?0?kn?x x+dx ?T??T(x)?S???S?S?Txx2???S(x)?dx??Txx(x)?xxdx??S(x)Txx(x)?S(x)xxdx?Txx(x)dx??dx??x???x??x?x?x?x?2n?（n＝0，1，2，?） Lnccn???n?c0?fn?0基频时n＝1?f1?0L2L2L
所以有；?(z,t)??Ancos(n?0??dx?n?c0n?c0?n??z)?Cncos(t)?Dnsin(t)? L?LL?为高阶无穷小量所以略去
所以体元受力为
f?S(x)?Txx(x)?Sdx?Txx(x)dx ?x?x位移振幅分布函数为cos(n?z)（n＝0，1，2，?） LL，即波节为L/2；所以有 2当n＝0时，无论在棒的任何位置位移振幅均为常数An； 当n＝1时，cos(?Txx(x)?2??S?S(x)dx?T(x)dx（广义牛顿定律） 即?S(x)dxxx2?t?x?x又因为Txx?E?xx??(Tyy?Tzz)?E?xx?E?Lz)?0?z?z＝0时，位移振幅值为常数An；
z＝L/2时，位移振幅值为常数0； z＝L时，位移振幅值为常数An；
??带入上式有 ?x当n＝2，cos(2?Lz)?0?z?(2m?1)L4(m?0,1,2,?)，即波节为L/4，3L/4；；所
以有
z＝0时，位移振幅值为常数An；
z＝L/4时（m＝0），位移振幅值为常数0； z＝L/2时，位移振幅值为常数An； z＝3L/4时（m＝1），位移振幅值为常数0； z＝L时，位移振幅值为常数An；
2-91、有一根长为L的棒一端固定，另一端有一质量负载M。（1）试求棒作纵振动的频率方程；（2）如果棒以基频f1振动，那么棒的哪一位置位移振幅最大？ 解：均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：
??2??(z,t)??1?2?(z,t)??z2c22?00?t
??(z,t)?0;SE??(z,t)?2?(z,t)??z?0?z??M2z?L?tz?L波动方程形式解为：
?(z,t)???Acos(kzz)?Bsin(kzz)??Ccos(??kzkzt)?Dsin(?kzt)?其中，kz?，
kzc0c2?E0?
由固定边条件可得：A＝0； 形式解可变为：?(z,t)??B?sin(kzz)cos(?kkzt??kz)
z由质量负载边条件可得：
SE?A?kzcos(kzL)cos(?kkzt??kz)?M?A??2kzkzsin(kzL)cos(?kzt??kz)
z?SEkL??M?2kzsin?kcot?k2zL?Mc0Mzcos?kzzL??k?? zLSELS?L以基频
f2?f11振动时其位移振幅为B?sin(cz)，其最大值为1 0即
2?f12m(2m?1)c0cz??1?m?0,1,2,?；因此有z?024fm?0,1,2,?
1当m＝0时在z?c04f处棒的位移振幅最大
12-92、长1m、横截面积为1.0?10?5m2的钢丝的下端挂上一个2.0kg的质量块。（1）若将系统视为简谐振子，这时质量块作垂直振动的基频是多少？（2）若将此系统视为一端固定另一端载有质量块的棒，这时系统作自由纵振动的基频是多少？（3）证明：当kL<0.2时，基频可简化为
?0?sm（s为弹性系数）。
解：（1）在
f?fc0?4L(一端固定一端自由的棒纵振动基频)前提下求系统等效集总参数的类比电路。
在上述条件下，有sin???0z????sin???2?ff?z??c???2?ff?z 参看书第165页 ?1l?1l所以有?(z,t)?Bsin(kz)sin?t??0Lzsin?t；其中?0为力作用端的振幅值
力作用于棒端（z=L），所以取z=L处为参考点，可求出振动的动能：
dz段的动能:dE?12?Sdzu2?12?S(??(z,t)?t)2dzL??0整条棒的动能:E1??(z,t)L)2dz?1t???S(?SLzsin?t)2dz02?t2?(0?t??2?2L0112L2?Scos2?t?z2dz?(?SL)?20?2cos2?t
023其等效集总参数系统的动能为：12M2eu0(Me是等效质量）??0u0是参考点的振速：u0?(Lzsin?t?t）??0?cos?tz?L?1M11e(?0?cos?t)2?2(3?SL)?2220?cos2?t
?M11e?3?SL?3M棒中势能为棒端外力作功的负值；也即棒端形变力作功：??0zsin?t?F?ST???SEzz?SE?z?SE(L?z)?SE0Lsin?t?L?(z?L,t)?(z?L,t)?(z?L,t)?Ep??F(z?L,t)d?(z?L,t)?0?SEL?(z?L,t)d?(z?L,t)?SE02L?2(z?L,t)如果，取棒端为参考点，De为等效集总参数的弹簧系数，则其等效集总参数的势能为：12De?2(z?L,t)；有：12Dz?L,t)?ESESEe?2(p?2L?2(z?L,t)；?De?L De?SE L所以 M1e?3?SL;
二者互为等效系统
得
其
振
动基频
为
D3SE3?10?5?19.5?1010f1e101?2?M?M?136Hz
e2?4ML?12?4?2?1?
?2?f（2）同上题，得频率方程：cot?kcot?1??zL?k?M??c0??2zLS?L2?f1.0?10?5?7700?26
1c0由此可算得基频。
（3）当kL<0.2时，cos?k1L??1；sin?k1L??k1L
所以
cos?k1L?kk?M?1k2?M?fc0S?1S?c201S?c201SE1De1???ML?2?ML?1Lsin?1L?S?L?1L?S?L2?ML2?ML2?2?M
此处De为等效集总参数的弹簧系数s，即得证。
2-93、细钢丝棒长L，质量为m，一端有质量负载M1，另一端有质量负载M2，试求出此系统作
纵振动的频率方程。
解：均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：
?22???(z,t)1??(z,t??z2?)c2?2?0?0t
??2?(z,t)??(z,t)?2?SE??(z,t)?(z,t)??z??M12;SE??M22z?0?tz?0?zz?L?tz?L波动方程形式解为：
?(z,t)???Acos(kzz)?Bsin(kzz)??Ccos(?kt)?Dsin(?kt)?其中，k?kzzzz?kzc，
0c2E0??
由质量负载边条件可得： SE?B?k2zcos(?kzt??kz)?M1?A??kzcos(?kzt??kz)?kzkzSEB?k2z?M1A??kz?B??M1A?S? SE???A?kzsin(kzL)?B?kzcos(kzL)?cos(?kzt??kz)?M22??kkz?A?cos(kzL)?B?sin(kzL)?cos(?kkzt??kz)zz?SEk?MA???MA??z???A?sin(kzL)?1S?cos(kzL)???M22?kz??A?cos(kzL)?1S?sin(kzL)???SEkz??S?sin(kzL)?M1cos(kzL)??M22?kz?S?cos(kzL)?M1sin(kzL)?
?SEkzsin(kzL??)?M2?2kzcos(kzL??)?tan(k??)2zLM2c0kL??SEL??M2zS?L其中：cos??S??;sin??M1S??2?M2?
S??2?M2112-94、棒的长度为L，质量为M，其一端固定，另一端自由。当在自由端加上质量块m时，其作纵振动的基频是没加m之前的基频值的25％，试求所加的质量块m等于多少？
解：均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：
???2?(z,t)??1?2?(z,t)2?0??z2c0?t2(z,t) ????(z,t)z?0?0;???z?0z?L用 “分离变数法”求解可得：
?(z,t)???Acos(kzz)?Bsin(kzz)??Ccos(?kt)?Dsin(?kt)?其中，kz??kzzzkzc，
0c20?E?
由固定边条件（位移为0）可得：A＝0
所以形式解可化为：?(z,t)??sin(kzz)?C?cos(??kzkzt)?D?sin(?kzt)?，kz?kzc
0由自由边条件（应力为0）??(z,t)?z??kzcos(kzL)?C?cos(?kzt)?D?sin(?kzt)??0z?Lkz可得：
k2n?12n?1?c0zL?2?所以有kz?2L 而?kz?2n?1?2L（n＝0，1，2，?）
所以有固有频率为
fzkz??k??2n?1?c0（n＝0，1，2，?）基频为??cc02?4L1?02L,f1?4L当加上质量块后边界条件变为：?(z,t)?0;SE??(z,t)?2?(z,t)z?0?z??m2 z?L?tz?L由固定边条件可得：A＝0；
形式解可变为：?(z,t)??B?sin(kzz)cos(?kt??kkzz)
z由质量负载边条件可得：