du(x,y,z,t)?u(x,y,z,t)?u(x,y,z,t)?x?u(x,y,z,t)?y?u(x,y,z,t)?z????dt?t?x?t?y?t?z?t即②也满足方程所以也为一维波动方程的正确解。
2-138、（1）、理想气体的声速c是否随静压强变化？在波动方程中c是否随瞬时声压变化？（2）、??u(x,y,z,t)?u(x,y,z,t)?u(x,y,z,t)?u(x,y,z,?t??xut)x??yuy??zuz??u(x,y,z,t)?t??u???u
2-136、证明下列表达式是一维波动方程的正确解：
① p(x,t)?Aej?tsinkx?Bej?tcoskx
②
p(x,t)??Cejkx?De?jkx?ej?t
22证明：由一维波动方程
1?P?C2?t2?P?x2?0 （1）将
①
代
入
波
动
方
程
第
一
式
可
得
1?2PC22???2C2?Asinkx?Bcoskx?ej?t??k2P(x,t) 0?t02代入第二式得：
?P2?x2???kAsinkx?k2Bcoskx?ej?t??k2P(x,t) 即①满足方程所以为一维波动方程的正确解。 （
2
）
同
理
将
②
代
入
波
动
方
程
第
一
式
可
得
1?2P?2C2??jkx22?Ce?De?jkx?ej?t??k2P(x,t) 0?tC0代入第二式得：?2P???k2Cejkx?k2De?jkx?x2?ej?t??k2P(x,t) 如果理想气体遵循等温状态方程，声速c的表达式将是怎样的？此时所得的c值与空气在20?C时的声速相差多少？
解：（1）、理想气体中近似为等熵绝热过程,因此PV??PV?00其中泊松比??Cp/Cv
?????????所以P?P?V0?0?，根据?PP0?V???P???0????0?c2????P??0?0?0,S0?????
0?0,S0可知理想气体声速随静压强变化，不随瞬时声压变化。 （2）等温情况下：
M
PV?PVPV0000?P?VV?P0M?P?0? 0V0?p?P?P?0?P0??P?P0P0?(???0)?0?l 00?0 又因为均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为
p?c20?l ?c2?P0P0??c?0? 0 所以，遵从等温状态方程的声速为：c?P0? 0：
：
而理想气体，遵从绝热状态方程的声速为：c??P0?；其中P0、?0分别为静态压强和
0密度。
??1.41，20?C时??1.21kg/m3，一个标准大气压P0?1.01?105Pa， ??P0??1.41?1.013?105c?343.575(m/s)
01.21cP0i?1.013???1051.21?289.3424(m/s) 0二者差值：c?ci?54.23 m/s
2-139、计算20℃和标准大气压下空气中的声速。
解：20?C时??1.21kg/m3，一个标准大气压P50?1.01?10Pa，
P5c??01.41?1.013???1021?343.575(m/s) 01.2-140、试证明：空气中的声速与绝对温度的平方根成比例。
证明：均匀、静止、理想、流体中小振幅波的状态方程为：P?c20?l
空气常温下可视为理想气体，热力学过程可视为绝热过程，所以有：
PV??PV?00 ，其中 泊松比??Cp/Cv
?????????所以：P?P?V????0?0??P0?；?P??0?P0?V????c2??P00???????
?0,S0?0?0,S0根据物态方程：
PV00?mRT??P0?mRTV??0RT?P0?RT，所以：
0???0?c??P0???RT0?即得证。
2-141、试问夏天（温度为36℃ ）空气中声速比冬天（温度为0℃ ）时高出多少？ 解：根据上题结论：
c1c?T1T?36?273?1.064 22273所以c?0.064cP|0?C1?c22?0.064??| 0?C2-146、试导出空气中由于声压p引起的绝对温度的升高?T的表达式。
解：空气中由于声压P引起的绝对温度升高?T的表达式：（?的意义：气体等压绝热与等温绝热的比值）
??等熵绝热过程方程PV??PV???00状态方程
P?P?V0?????PV?nRT 0??V???P0????0???1dP??P0????????d??
00??0?V?dP??PV??1两式均取全微分：?dV?0PdV?VdP?nRdT
?联立方程消去dV即得方程dT???1V??nRdP??1T?PdP
2-147、试求在20℃ 、标准大气压的空气中声强为的平面声波所产生的温度变化的幅值。 解：已知：T=293K，P0?1.013?105Pa??1.41
P02由I??P?2?0c0I?91.7Pa
2?0c0由上题：?T解：由题意知，??2?f?2000?，k??c?2000?c，声压幅值
p?2?10?5m
2000?x)c
?dT???1T0??1T01.41?1293dP?pl???91?0.075K 5?P0?P01.411.013?10?5则正方向的平面谐和波可表示为：
p?pej(?t?kx)?2?10?e?5j(2000?t?2-149、计算有效声压为3.5N/m2的平面声波的声压级。设所用的参考声压为（1）2?10Pa（2）
（1）若质点运动是无旋的，则质点的运动速度u(r,t)可以用一个标量函数?(r,t)的负梯度表???10?6Pa
（3）2?10?4μbar（4）10?5μbar
解： 1μbar=1dyn/cm2
=10?5N/cm2
=
10?510?4N/m2=0.1Pa；有效声压：Pe?Pm2；
2声压级公式：SPL?10logPP2?20logPrefP
ref
带入公式得：（1）SPL?20logPP?20log3.52?10?5?20log1.75?100?104.86dB ref（2）SPL?20logP3.5P?20log?6?20log3.5?120?130.88 dB ref10（3）SPL?20logPP?20log3.5?0.1?20log1.75?100?104.86dB
ref2?10?4（4）SPL?20logPP?20log3.5?50.1?20log3.5?120?130.88 dB ref10?2-151 有一平面谐和波其频率为1000Hz，声压幅值是2?10?5Pa（闻阈）。若此声波在空气中传
播，试求：（1）速度势函数；（2）压缩量；（3）质点振速幅值及位移幅值；（4）若此平面波的声压级为180dB（参考2?10?5Pa），重复计算上述各量，并作比较。
示：u?(r?,t)????(r?,t)则这个标量函数称为质点运动的速度势函数。
声场中速度势函数满足的波动方程??u?0????p ① u?(r?,t)????(r?,t)② 将②代入①得： ??(???(r??t,t))0??t????(r?,t)??(r?,t)0?(???t)???p?p??0??t
因此
??12?10?5??pdt?1j(2000?t?2000?cx)??2?10?5?edt??1j(2000?t?2000?cx)?j2000??e?2.630
p（2）s????c250??l?0???p2?10?2?2?1.43?10?10 0?00c0?01.21?(343)（3）在一维情况下，
???2.6307??9j(2000?t??2?2000?cx)?u?(?r,t)????(?r,t)??10e??2.6307?10?9?(?j2000?x?x???xc)?ej(2000?t??2?2000c)?4.81?10?8ej(2000?t?2000?cx)m/s
x??udt??4.81?10?8ej(2000?t?2000?4.81?10?8?cx)dt?j(2000?t?2000cx)?12j(2000?t??2?2000?cx)j2000?e?7.66?10em
（4）20logp10p?180dB?p?109?pref?2?104Pa
ref2-152 声强相等的二列平面谐和波，一列在水里，另一列在空气里传播。试证明：它们的声压幅值之比约为60。若它们声压幅值相等，证明：它们的声强之比约为3?10?4。
证明：因为I?p202?c 所以，当I水?I空气时，
p22水?水c水2??p空气?p水??103?1500水c水2?空气c空气p空气?空气c空气1.21?343?59.89
当p时，2II水?空气c空气水＝p空气水?水c水?2I空气?空气c空气?I??2.788?10?4
空气?水c水2-155 对于平面声波，试用其声压级表示声强级，并求在什么条件下声强级与声压级相等？ 解：
I2SIL?10log10I?10logp10?cI?10log210p?10log10?cIrefrefref2
?20logpref10p?ppref?10log10?cIref?SPL?10log10ref?cIref当p2ref?1即p2?cIref??cIref时，声强级与声压级相等
ref2-156 空气中一平面波其频率为171Hz，声压级是40dB（参考声压20μPa）。试求：（1）声压幅值；（2）声强；（3）质点振速幅值；（4）声能密度幅值。 解： （
1
）
SPL?40dB?20logpp?20logp?62?31010?6?p?20?10?10?2?10Paref20?10
I?p2?c?(2?10?3（2）)21.21?343?9.6?10?9W/m2
3）u?p?c?2?10?3（1.21?343?4.8?10?6m/s
（4）E?Ek?Ep12?1p2p2(2?10?3)2V?2?1130u?2?c2??2??2.8?10J/m 000c1.21?343?3432-157 空气中平面声波的频率是100Hz，声压幅值为2Pa。试求：（1）声强与声强级；（2）质点位移振幅；（3）质点振速幅值；（4）有效值声压；（5）声压级（参考声压20μPa）。（标准气压和温度下）
解（1）?p22I02?c?2?1.21?343?0.0048W/m22；
SIL?10logI10I?10log0.004810ref10?12?96.812dB ?（2、3
）
p?2ej(?t?kx)?2ej(200?t?200cx)；
?u?p0j(200?t?200cx)2j(200?t?200?200?cx)j(200?t?cx)?ce?1.21?343e?0.0048em/s
p?200x??udt??0j(200?t?200cx)p?01j(200?t?cx)21j(200?t???2?200cx)?6j(200?t??2?200?cx)?cedt??cj?e?1.21?343200?e?7.6696?10em（4）
pp0e?2?22?2Pa （5）SPL?20logpe10p?20log21020?10?6?96.9897dB ref2-158 在平面波声场中，已知媒质质点的位移振幅为5x10-6cm，试计算声波频率为103Hz及105
HZ
时，空气中及水中的声压振幅、振速幅值及声强。 解
：
x?5??8j????1et；0u?dxdt?5?10?8?j??ej(?t???kx)?5?10?8???ej(?t????2?kx)m/s
2?43p?u???c；I?p u?dx?5?10?8?3.14?10f?10Hz2?cdt?j??ej(?t???kx)???5?10?8???3.14?10?2f?103Hzm/s2-159 声强级为80dB（参考值为10-12
2
W/m）的平面波在空气中传播。试求：（1）有效声压、瞬时
声能密度和平均声能密度；（2）若声强度不变，但在水中传播，重复计算这些量。（参考声压10-6
Pa） 解
：
SILSIL?10logI?410I?I?1010I?10W/m?p2erefref?c?pe?10????c?0.2Pa 平
均
声
能
密
度
：
E?Ek?Ep?12?u2?1p2p(0.2)22?7V002?c2??2?343?343?2.8?10J/m 00c1.21?E?7max?2E?5.6?10J/m3同理可得在水中传播时上述各量。
2-161 （1）证明：空气中有效声压为1μbar的平面波的声强级约是74dB。（2）如果水中平面波的声压级为120dB（参考值1μbar），则声强是多少？（3）如果水中与空气中平面波声强相同，试求声压之比。（同152题） 解：（1）SIL?10logI10logp2(0.1)210I?10ref?cI?10log10?74dB
ref1.21?343?10?12（2）SPL?20logpSPL1020p?p?10?p?105Pa?I?p2refref?c?6.7?103W/m2
（3）因为kmI?p202?c 所以，当xI水?I空气时， p22水?水c水103?15002??p空气?p水p?水c水2?空气c空气空气?空气c?空气1.21?343?59.89
2-162 （1）空气中平面波的声强级为70dB，求声能密度和有效声压；（2）水中平面声波的声压级为70dB（参考值1μbar ），求其声能密度和有效声压。
解：（1）
SIL?10logI10logp2SIL1010I?e10?cI?pe??cIref?10?0.064Pa；
refref?p2E3?c2?2.9?10?8J/m
SPL（2）SPL?20logp210p?p?pref?1020?316Pa；E?p22?4.4?10?5J/m3ref?c2-163 已知两声压幅值之比为1，2，3.16，10，100，试求它们声压级之差。若已知两声波的声压
级之差为1，3，6，10，20dB，试求它们的声压振幅之比。
解：?SPL?3SPL212?SPL1?20logp10p?20logp?20logp21010
refprefp1代入上述各值得声压级之差分别为0dB、6dB、10dB、20dB、40dB。
p?SPL2p?1020代入上述各值得声压振幅之比分别为1.1、1.4、1.995、3.16、10。 12-194 有效声压50Pa、频率1000Hz的平面波由水中垂直入射到水与空气的平面界面上。试求：（1）
透射到空气中的平面波的有效声压是多少？（2）水中入射波和空气中的透射波声强各是多少？（3）如果该平面波由水入射到水—冰界面上，重新计算上述（1）、（2）中各量；（4）冰层的声功率反射系数是多少？（若冰的?c值为2.94?106Rayl）
解：（1）透射系数
D?2Z2Z?2?空气c空气??2?1.2?3433 1?Z2?空气c空气?水c水1.2?343?10?1500