带入初条件：
???0?t?0；?(x,t)t?0?x 得到??＝0；
t?0L?{A??????ch(()x)?B?sh(()x)?C?cos(()x)?D?sin(()?aaaax)?0Lx ?L??0ch??(?)??02?0L??e(a)x?e?(a)x??xdx2?0??aLsh???a?ch?(?)x??1???A?ax??LxdxL?0????L????()x?a?????????a????????????L2???(?)x?(?2a???0ch?()xdxL??aa)x?sh?a????()0?e?e?dxx??????a??2?0?L??L?a??cth?(?)x??csc?????????????a?????(?a)x????????
同
理可得：
?L????L?L????0sh?(xB?a?0xdx)?L???ax???Lxdx0x??,C?0??c?xdx?L2??????(??;Da2????LL???0sh?(?)x?L?a?dxcos???a)x?dx?0?sin?()x?a?dx?
2-101、长为L的细棒两端自由，求棒作横振动的频率方程。 解：由棒的弯曲振动波动方程：
?2?(x,t)4?t2??a2??(x,t)2EI?x4 其中：a?S?
边条件：
x?0端自由:d3Y(x)d2Y(x)dx3?0;dx2?0x?0x?0x?L端自由:d3Y(x)d2Y(x)
dx3?0;x?Ldx2?0x?L形式解：
?(x,t)?Y(x)T(t)??{A?)?B????ch(()x?sh(()x)?C?cos(()x)?D?sin(()x)}cos(?t??aaaa??) 由
?2Y?x2?A???2???a??ch((?a)x)?B???2???a??sh((?a)x)?C???2???a??cos((?2a)x)?D???????a??sin((a)x)?3Y3333?x3?A???????????????????a??sh((a)x)?B???a??ch((a)x)?C???a??sin((a)x)?D???a??cos((a)x)
带入边条件得：A??C??0;B??D??0
A????{ch(? a)L?cos(a)L}?B?{sh(a)L?sin(a)L}?0 0A?{shs(?a)L?0sin(?a)L}(?B?{ch(?a)L?cos)(?a)L}?02A?,B?不同时为00的充要条件：ch(??a)L?cos(a)Lsh(??a)L?sin(a)L0
sh(??a)L?sin(a)Lch(?)??aL?cos(a)L又因为有：sin2x?cos2x?1;ch2x?sh2x?1
所以可得频率方程为?ch((?)L)cos((?aa)L?1
2-102、一根钢棒长0.5m，半径0.005m，两端自由。试求：（1）棒作横振动的基频；（2）如果棒以基频振动时棒中点处的振幅是2cm，那么棒两端的振幅为多少？ 解：（1）由棒的弯曲振动波动方程：
o?2?(x,t)4?t2??a2??(x,t)?x4 其中：a2?EIS? 边条件：
x?0端自由:d3Y(x)d2Y(x)dx3?0;x?0dx2?0x?0x?L端自由:d3Y(x)d2Y(x)
dx3?0;x?Ldx2?0x?L形式解：
?(x,t)?Y(x)T(t)??{A?????ch((?a)x)?B?sh((a)x)?C?cos((a)x)?D?sin((a)x)}cos(?t???) 由
?2Y?x2?A???2???a??ch((?a)x)?B???2???a??sh((?a)x)?C???2???a??cos((?2a)x)?D???????a??sin((a)x)?3Y3333?x3?A???????????????????a??sh((a)x)?B???a??ch((a)x)?C???a??sin((a)x)?D???a??cos((a)x)
带入边条件得：A??C??0;B??D??0
A?????{ch(a)L?cos(a)L}?B?{sh(a)L?sin(a)L}?0A??{sh()L?sin(?)L}?B??aa?{ch(a)L?cos(a)L}?0ch(?)L?cos(?)L?Baa???A
sh(?a)L?sin(??a)LA?,B?不同时为0的充要条件：{ch(??a)L?cos(a)L}{sh(??a)L?sin(a)L}{sh(??a)L?sin(a)L}{ch(?)L?cos??0
a(a)L}频率方程?ch((?)L)cos(?a(a)L?1
若?cosx?1的第n个根，则，可得：??3??n为方程chx1?4.694?2???2?4.694???4.73截面是半径为0.005m的圆形，则转动惯性矩为：
??b4EI?Eb419.5?1010?25?4?a?S??10?6I4?b2??4?7700?12.58
则
相
对
于
22?n?2n??aL?fa??n?a??1?1?n?2???L???f1????L?????????Hz22?1 ??1a?9.46 2）如果棒以基频振动时棒中点处的振幅是2cm，那么棒两端的振幅为多少？
B????ch?4.73??cos?4.73sh?4.73??sin?4.73?A???0.99266A?以基频振动时的位移表达式如下：
（?(x,t)?A1?ch(9.46x)?cos(9.46x)?0.99266?sh(9.46x)?sin(9.46x)??cos(1125.8t???)
ch(()L)?cos(()L)aash(()L)?sin(()L)??sh(()L)?sin(()Laach(()L)?cos(()L????(0.25)?A1?ch(2.365)?cos(2.365)?0.99266??sh(2.365)?sin(2.365)???0.02????＝0
?A1?
2-103、长为L的细棒两端固定，求棒作横振动的频率方程。 解：由棒的弯曲振动波动方程：
?2?(x,t)4?t2??a2??(x,t)?x4 其中：a2?EIS?
边条件：
x?0端固定:Y(x)dY(x)x?0?0;dx?0x?0
x?L端固定:Y(x)x?L?0;dY(x)dx?0x?L形式解：
?(x,t)?Y(x)T(t)??{A????)x)}cos(?t?? ?ch(()x)?B?sh(()x)?C?cos(()x)?D?sin((?)?aaaa带入形式解后的边条件化为：A??C??0;B??D??0
A???(????????a)L)?cos((a)L)????B????ch(????sh(()L)?sin(()L?aa??＝0?A???(?)L)?sin((?)L)???
???????sh(?aa???B????ch(()L)?cos(()L?aa??＝0?A?,B?不同时为0的充要条件：aaaa???ch((?)L)?cos((?)L?2?sh2((?)L)?sin2((?)L)?0 ?aa???aa频率方程?ch((?)L)cos((?aa)L?1
2-284、试证：对于谐和球面行波场的声强可表示为：
I??cu2cos2?cu22ek2re??1?k2r2式中：ue?u02为振速有效值；?,c为媒质的密度和声
速；k为波数；r为径向距离。
证明：已知谐和球面行波场的声压场：P(r,t)?Aj(?t?kr)?re其中k?c
振速：
u?(r,t)??1???p?re?A1jk?rdt????(?r2ej(?t?kr)?rej(?t?kr))erdt?A1[1?jk]ej(?t?kr)e?A11r?cjkr1]ej(?t?kr)?r?rj?j?r?[?er
?A11?jkrj(?t?kr)??cr[jkr]eer 波
阻
抗
：
Aj(?t?kr)e?(r,t)pjkr(kr)2?jkrrZa????c??c?Zaej? 2A1?jkrj(?t?kr)1?jkr?(r,t)u1?(kr)()e?crjkr 其
中
2-294、已知球面行波场中速度势函数为：??r；c?1Za??krc1?2kr(2??k)r?c?（1）声压；（2）cos(kr)exp(j?t)，试求：
?ocs1?kr()1?kr(2)??arg(kr?j)?arctan(1kr)
u(r,t)?p(r,t)?Aej(?t?kr??)?u(?t?kr??)Z0ej；
所
以
arZauA?uu0A0?rZe?2? arZa2T2故：I(r?)?w?(r?,t)?1T?pu?dt?A22?u2eZao2?cr?c
22将
Za??ckr1?(kr)2??ccos?带入上式得到：I??cu2cos2???cuek2re1?k2r2即
得证。
2-290、对于谐和球面形波场，其声阻率的最大值是多少？
Aj(?t?kr)波阻抗：Zp?(r,t)ejkr(kr)2解： a?r?jkru?(r,t)?A1?jkr??c??c2?cr(j(?t?kr)1?jkr1?(kr)jkr)e 所以有声阻率为：R(kr)2a??c1?(kr)2??c1
1?1(kr)2 当kr??时Ra有最大值，即Ramax??c
质点振速；（3）声阻抗率；（4）声强
解：由??cos(kr)rej?t 据定义和尤拉公式，
（1）?p(r,t)?????t?j??cos(kr)rej?t???cos(kr)j(?t??/2)re （2）u?(r,t)????(r,t)?????cos(kr)ksin(kr)?j?t?cos(kr)?krsin(kr)?j?t ?r?(r,t)er?????r2?r??e?r2e（3）声阻抗率为：
j??ckroj?ts()Zp?(rt,ej?ckrkr?ckrckroa?u?(rt??r)c,kr?okr)krs??j?t(?kr?)krkr??sjc?krio?krnskr?
r2e（4）声能流密度为：
w?(r?,t)?P(r,t)u?(r,t)?kc?cos(kr)j(?t??/2)?cos(kr)?krsin(kr)?j?trer2e?kc??2cos2(kr)?krsin(2kr)?
j(2?t??/2)2r3e声
强：
Tkc??2I(r?)?1kr?krkr?1TT?Re?W(r?,t)?dt?2o2r3T??sin(2?c0t)dt?0
2-295、半径为0.1m的脉动球在空气中辐射球面波，在距球心1m处的声强为50mW/m2。（1）试求辐射的声功率；（2）如果声源辐射声波的频率为100Hz，试计算球面处的声强、声压幅值和质点振速幅值；（3）计算距离球心0.5m出的声强、声压及质点振速幅值。
s((
解：（1）根据声功率与声强的关系有：
W?IS?I?4?R2?50?10?3?4?3.14?12?0.628w
（2）
f?100Hz???2?f?200?rad/s
由于脉动球振动的辐射声场为谐和球面行波场， 故其声压为：P(r,t)?Aj(?t?krre)其中k??c
振速：
u?(r,t)?A1?jkrj(?t??cr[jkr]ekr)e?Aj(?t?kr??)?r?rZeer
a 其中：
Za??ckr1??kr?2 ??arctg(1kr)
T2I(r?)???(r?,t)?1?A2T?pudt?
I(1m)?A?o2?cr22?c?5?01?30?A?c10 所
以
有
P(r,t)?1?cej(?t?kr)?pj(?t?kr)r100e；
u?(r,t)?1?c?t?kr??)rZ10ej(e?j(?t?kr??)?(r?)?1r?u0eer；I20r2
a在温度0℃、1标准大气压下，有?c?428瑞利
所以有：I(r?)1r?0.1?20r2?5w/m2；PA1?c0?r?r?64.2Pa；
r?0.110r?0.1Zkr1?car?0.1??c?74.217 N·s/m；u1??kr?20?rZa10?0.865m/s
r?0.1r?0.1（3） 所以有：I(r?)1r?0.5?20r2?0.2w/m2；PA0?Pa；
r?0.5r?1?cr10?12.84r?0.1Zkrar?0.1??c1??kr?2?278.236 N·s/m；
r?0.1u?c0?1rZa10?0.04614m/s
r?0.12-298、空气中一脉动球源辐射400Hz的球面波，其声功率为10mw。试求：（1）据声源0.5m处的声强；（2）该距离处的声压幅值；（3）该处的质点振速幅值；（4）该处的质点位移振幅；（5）该处的压缩比；（6）该处的声能密度；（7）声压级（相对2?10?5Pa）。
解：（1）W?IS?4?R2I?I?W10?24?R2?4??0.52?0.0032w/m2 （2）在标准大气压下，空气密度1.23kg/m3；声速为340m/s；所以有?c?418.2瑞利
TI(r?)???(r?,t)?1T?pu?dt?A2?o2?cr2I(0.5)?A22?c?0.52?0.0032?A?0.812
P0?A?0.8120.5?1.624N/m2 r（3）
f?400Hz???80?0rad?/s?k?c?7.rad32/m
7 Zar?0.5??ckrN·s/m；uA1???397.404 kr?20?rZ?0.004m/s
ar?0.5r?0.5