P2?1.2?343T?D?pi?50?1.2?343?103?1500?100?411.6411.6?1.5?106?0.027 （
2
）
IP2i50?50-3i???31500?1.67?10w/m2；
水c水10??p22IT??（0.027）R1.2?343?1.8?10-6w/m2
气c气（3）
D‘?2?冰c冰2?2.94???1062.94?106?1.32；
水c水??冰c冰1.5?106?pT?D'?p2?2.94i?50?1.5?2.94?66.2Pa
I10?3w/m2；Ip22T（66.2）-32i?1.67?T???2.94?106?1.49?10w/m 冰c冰（4
）
R?I2r（R?c??水c水22.94?1.52I??pi)2（pi）w?R2?(冰冰)?i?c()?0.105
水c水?水水?冰c冰??水c水2.94?1.52-195 平面声波垂直入射到海底，如果反射波比入射波低20dB，问液态海底物质的声阻抗率可能取什么数值？ 解
：
2dB?pi?0prp?pirefprefpr?ppri?10pr?R??0.?1Z2??海水c海水piZ2??海水c
海水Z2?1.83?106Ray1
2-196 由平面声波垂直入射到空气和位置特性阻抗的无限流体的分界面平面上。若已知有一半声能被反射，则求未知的特性阻抗。如果有1/4的能量被反射，未知特性阻抗又是多少？ 解：设入射方向如右图：由194题知：
R2?0.5
R??c?Z1?c?Z?Z1?R1?0.51??c??1.21?343?71.2Rayl
11?R1?0.5同理：
R2?0.25时；Z1?R1?R?c?1?0.251?1?0.25?1.21?343?138.3Rayl 2-199 在空气中平面谐和波垂直入射到特性阻抗785Rayl的平表面上，求驻波比等于多少？（驻波比定义为驻波场中声压级大值与极小值的比值）
解：驻波比：G?1?R?Z1785?1.2?343785?411.61?R，因为：R?Z2Z??1.2?343?785?411.6?0.312
2?Z1785所以：G?1?0.3121?0.312?1.9
2-203 水中平面波声压幅值为100Pa，以45度角入射到密度为2000kg/m3
、声速为1000m/s的泥底上。试求：（1）泥中折射声线的方向；（2）泥中折射波声压幅值；（3）反射波的声压幅值；（4）
声功率的反射系数。 解
：
由
Snell
定
律
0n?c1?s?i?s?ic2?s?in1?i0c?ti?n0n??0t2stic1n1?5?0?2
02?2c22D?cos???t0?2?2c2cos?il?1.03g；
2c21c1?c?22cos?i??1c1cos?tcos?tcos?iR??2c2cos?i??1c1cos?t??0.03
2c2cos?i??1c1cos?tp103Pa;p2t?Dpi?r?Rpi?3Pa；Rw?R?(0.03)2
流体空气0
22-205、试以一维平面波为例，导出理想流体煤质中存在反射波时声场某点处的声阻抗率的一般表p?p|?A?B?A示式。
解：如图所示，所要求解的为I中的声阻抗率的表示式。 y-o-z平面为分界面；x<0为介质1； x>0为介质2
入射声波pi由x<0区域沿x正向传播,入射到x=0的界面上。 产生反射声波pr和透射声波pt。所以有波动方程：
?2pI1?x2??2pIc2x?01?t2?2p2
II1?pII?x2?c22?t2x?0边界上压力连续：
pI|x?0?pII|x?0
边界上质点振速的法向分量连续：uIn|x?0?uIIn|x?0
时间函数为简谐振动条件下的形式解：
p?jk?(x,t)?(Ae1x?B?t11ejk1x)ej ux,t)???1?p??dt?1?(Ae?jk?(11x?B1ejk1x)ej?t 1?x1c1pxII(x,t)?(A?jk2e2?Bjkj?t2e2x)euII(x,t)???1?pIIdt?1?(A2e?jk2x??Bjk2e2x)ej?t
2?x2c2其中：k1??/c1;k2??/c2
∵在Ⅱ区域内无反射波，∴B2＝0；A1，A2，B1由边界条件确定。将形式解代入在x＝0处的边界条件，可得：
?IIx?0112uu11；定义反射系
?n?IIn|x?0??c(A1?B1)?A211?2c2数：R?p?r(x,t)|B1?c2??1c1p?x?边界??2
i(x,t)A1?2c2??1c1所以有
p1(x,t)?A(ej(?t?kx)?Rej(?t?kx))p?1(x,t)e?jkx?Rejkxut)?A))?Z(x,?)?u?1(x,(ej(?t?kx)?Rej(?t?kx?(x,t)?c(e?jkx?Rejkx)?c1
其中?c为流体介质的特性阻抗，R为声压复反射系数，k
是波数。
振速：
即求得I中声阻抗率的一般表达式，即可看作为理想流体煤质中一维平面波场存在反射波时声场某点处的声阻抗率的一般表示式。
2-206、试求：（1）1/4波长流体柱；（2）1/2波长流体柱中平面声波传播的声阻抗率。
解：由上题可知理想流体煤质中一维平面波场存在反射波时声场某点处的声阻抗率的一般表示式：
?p?jkx(x,?)1(x,t)e??RejkxZu???c(?jkxjkx)
1(x,t)e?Re（1）1/4波长流体柱中平面声波传播时，流体柱的始端坐标为x???4，终端坐标为x＝0，
因为
??c2?f?k，所以始端的输入阻抗率为
?jk??Z(??,?)??c?e4?Re?jk?4?4?????c?1?R???ejk?4?Re?jk4????1?R??
终端的输入阻抗率为Z(0,?)??c??1?R??1?R????c??1?R??1?R??
（2）1/2波长流体柱中平面声波传播时，流体柱的始端坐标为x???2，终端坐标为x＝0，
因为
??c2?f?k，所以始端的输入阻抗率为
?jk??e?jk??Z(??2,?)??c?2?Re2??jk??e2????c???1?R??Re?jk2??1?R??
终端的输入阻抗率为Z(0,?)??c?1?R??1?R??1?R????c???1?R??
2-207、水中平面波的有效声压为100Pa，正入射到砂底上。已知砂的密度保持2000kg/m3，声速为2000m/s，试求：（1）反射波声压有效值是多少？（2）砂的声功率反射系数是多少？（3）声能全部被反射的最小入射角是多少？
解：（1）p2??1c1r?Rp?2ci????p?2000?2000?1500?1000i?2000?1500?1000?100?45.6(Pa)2c21c120002（2）
R2??2c2??1c12000?2000?1500*10002?2c2??1c?12000?2000?1500*1000?0.207
（3）?i?arcsinc11500?c?arcsin? 48.5904 220002-208、测得海底全内反射临界角为58?，设海底土质与海水的密度比为2.7。若平面波以30?角
入射到海底平面上，求反射波强度与入射波强度之比值是多少？
解：
c1c?sin?c?sin58?? 0.84；80sin??c2sin?20002ti??sin30?? ；
2c115003cos?5t?3 ?222c2?2000?2000?1500?1000I?1c1rcos?tcos?iI?R2??5/32/3i?2c2?c2000?2000? cos??11tcos?i5/3?1500?10000.1674 2/32-219、水中一块0.2cm的大钢板，试比较频率各为15kHz和30kHz的平面声波垂直入射穿透此板的透声系数的大小？若钢板中有空隙时，透声系数（即折射波声强与入射波声强之比值）将会有何变化？
解：
D1?2Z2Z3
Z2(Z3?Z1)cosk2l?j(Z22?Z3Z1)sink2l2?7840?5941?1.5?106?7840?5941?2?1.5?106?cos??2??15000??25941?0.2???j(78402?59412?1.52??15000???1012)sin??5941?0.2??? 0.8047 - 0.3969i?0.8973e-j0.4583T1?D21? 0.8051
D2Z2Z32?Z2(Z3?Z1)cosk2l?j(Z22?Z3Z1)sink2l2?7840?5941?1.5?106?7840?5941?2?1.5?106?cos??2??30000??2??30000??5941?0.2???j(78402?59412?1.52?1012)sin??5941?0.2??? 0.5073 - 0.5010i?0.713e-j0.7791
T22?D2?0.5083
D?2Z3(Z(Z。
3?Z1)cosk2l?j2?Z3Z1/Z2)sink2l钢板内有空气时，Z2变小，D变小 作业1、试用拉梅常数??,??，表示为弹性常数cij
解：拉梅常数
??,??表示应力与应变的关系如下：
而应力与应变分量之间的关系由虎克定律
Txx????xx??yy??zz??2??xx Txx?c11?xx?c12?yy?c13?zz?c14?yz?c15?zx?c16?xyTTyy?c21?xx?c22?yy?c23?zz?c24?yz?c25?zx?c26?xyyy????xx??yy??zz??2??yy Tzz?c31?xx?c32?yy?c33?zz?c34?yz?c35?zx?c36?xyTTyz?c41?xx?c42?yy?c43?zz?c44?yz?c45?zx?c46?xyzz????xx??yy??zz??2??zz
Tzx?c51?xx?c52?yy?c53?zz?c54?yz?c55?zx?c56?xyTTxy???xy xy?c61?xx?c62?yy?c63?zz?c64?yz?c65?zx?c66?xyTxz???xz
Tyz???yz
对比两组方程组，可得：
c11???2?;c12?c13??;c14?c15?c16?0; c22???2?;c21?c23??;c24?c25?c26?0; c33???2?;c31?c32??;c34?c35?c36?0;
c44??;c41?c42?c43?c45?c46?0; c55??;c51?c52?c53?c54?c56?0;
c66??;c61?c62?c63?c64?c65?0;
作业2、推导出拉梅系数??,??与杨氏模量和泊松系数?E,??的关系。
解：拉梅常数
??,??表示应力与应变的关系及用杨氏模量和泊松系数?E,??表示应力与应变
的关系如下：
Txx?E?xx??(Tyy?Tzz);Txx????xx??yy??zz??2??xx Tyy?E?yy??(Tzz?Txx);TTzz?E?zz??(Txx?Tyy);yy????xx??yy??zz??2??yy TETxy?zz????xx??yy??zz??2??zz
2(1??)?xy;（2）（1）
T?ExzT2(1??)?xz;xy???xy TEyz?Txz???xz
2(1??)?yzTyz???yz
由两组方程组中的切向应力关系式可以得到： ??E2(1??
)由（1）方程组中的正应力三个方程相加得到：
Txx?Tyy?Tzz?3???xx??yy??zz??2???xx??yy??zz???3??2????xx??yy??zz?
由（2）方程组中的正应力三个方程相加得到：
Txx?Tyy?Tzz?E??xx??yy??zz??2??Txx?TEyy?Tzz??Txx?Tyy?Tzz?1?2???xx??yy??zz?
上面两式左右相等可得：
3??2??E1?2????E3?1?2???2?3将
??E2(1??)带入可得：
E? ???1????1?2??2-87、一根长为L的均匀细棒，其一端固定，另一端可自由振动。试求：（1）棒作自由纵振动的固有频率；（2）证明棒中只存在奇数次泛音；（3）若均匀地拉伸棒的自由端使长度达到L0后突然
?0??c02L,f0?c0 4L所以有固有频率为
fkz??kc??2n?1?0（n＝0，1，2，?） 2?4Lz?4(L0?L)??2n?1??释放证明该端各次谐波振幅为?sin?（2）证明棒中只存在奇数次泛音；
；（4）若棒在初始时刻具有速度v0，
?(2n?1)??2写出棒中位移分布函数；（5）若有一恒定的纵向力作用于棒上，棒的固有频率是否会受影响？
解：（1）求棒作自由纵振动的固有频率；
均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：
???2?(z,t)1?2?(z,t???z2?)c22?00?t ????(z,t)z?0?0;??(z,t)?z?0z?L用 “分离变数法”求解可得形式解：
?(z,t)???Acos(kzz)?Bsin(kzz)??Ccos(??kzkzt)?Dsin(?kzt)?其中，kz?kzc，0c20?E?
由固定边条件（位移为0）可得：A＝0 所以形式解可化为：?(z,t)??sin(kzz)?C?cos(?kzt)?D?sin(?kzt)?，k?kzz?kzc 0由
自
由
边
条件（应力为0
）
??(z,t)?z??kzcos(kzL)?C?cos(?kzt)?D?sin(?kzt)??0可得：
z?Lkzk1zL?2n?2?所以有k2n?1?z?2L 而?kz?2n?1?c02L（n＝0，1，2，?）基频为
由固有频率f??kzz2???2n?1?c0k4L（n＝0，1，2，?）公式可以看出棒中只存在奇数次泛
音。
（3）若均匀地拉伸棒的自由端使长度达到L0后突然释放证明该端各次谐波振幅为
??4(L0?L)??2n?1??(2n?1)??；
??sin2由（1）可知位移函数表达式为：
?(z,t)??sin(?2n?1??z)????C???2n?1??c0???2n?1??c0???n2L?ncos??2Lt???D?nsin??2Lt?????（n＝0，1，2，?） 此时另有初始条件为：
??(z,t)?t?0；?(z,t)t?0?L0?L
t?0由
初
始
速
度
为
0
可
得
D??0，所以上式化为
?(z,t)??C?sin(?2n?1??c0nLz)cos???2n?1??t?n2
?2L??带入到初始位移表达式中，得：
?C??n?sin(?2n?1n2Lz)?L0?L
LL?C??2??2n?1??nz??2(L??2n?1??L?(L0?L)sin?z???4(L0?L)0?2L?dz??0?L)2LL?2n?1??cos??2L?z?0?2n?1??