如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为
dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx (3)【答案】0?x?1 4【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.
将函数F(x)??(2?1x11. )dt,两边对x求导,得 F?(x)?2?tx11?0,即x?.
2x1. 4若函数F(x)严格单调减少,则F?(x)?2?所以函数F(x)单调减少区间为0?x?【相关知识点】函数的单调性：设函数y?f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.
(1) 如果在(a,b)内f?(x)?0,那么函数y?f(x)在[a,b]上单调增加； (2) 如果在(a,b)内f?(x)?0,那么函数y?f(x)在[a,b]上单调减少. (4)【答案】2cos?1/2x?C
【解析】 ?3?tanxsinxdx??dx??sinxcos2xdx cosxcosxcosx ???cos?32xdcosx?2cos?12x?C.
111(5)【答案】(1?x2)ln(1?x2)?x2?
222【解析】这是微分方程的简单应用.
dy?xln(1?x2),分离变量得 dy?xln(1?x2)dx,两边对x积分有 由题知 dx1y??xln(1?x2)dx??ln(1?x2)d(x2?1).
2由分部积分法得
1112xdx ?ln(1?x2)d(x2?1)?(1?x2)ln(1?x2)??(1?x2)?22221?x1(1?x2)ln(1?x2)??xdx2
11?(1?x2)ln(1?x2)?x2?C.22?11因为曲线y?f(x)过点(0,?),故C??,所以所求曲线为
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y?111(1?x2)ln(1?x2)?x2?. 222
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)
1【解析】因为当x?0时,sin是振荡函数,所以可用反证法.
x若取 x1k?111,则2sin?(k?)2sink??0, k?x1kx1kx2k?11(2k?)?2,则
11122sin?(2k?)?,(k?1,2,2x2x2k2k,).
11sin或等于0或趋于??,这表明当x2xx?0时它是无界的,但不是无穷大量,即(D)选项正确. (2)【答案】(A)
因此,当k??时,有x1k?0及x2k?0,但变量
【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在x0处连续,则有
x?x0?limf(x)?limf(x)?f(x0).
x?x0?由题可知
|x2?1|x2?1limf(x)?lim?lim?lim(x?1)?2, x?1?x?1?x?1?x?1x?1?x?1|x2?1|1?x2limf(x)?lim?lim??lim(x?1)??2. ??x?1?x?1?x?1x?1x?1x?1因f(x)在x?1处左右极限不相等,故在x?1处不连续,因此选(A). (3)【答案】(D)
【解析】这是分段函数求定积分.
当0?x?1时,0?x?t?1,故f(t)?t2,所以
F(x)??f(t)dt??1xx11?1?t2dt??t3??(x3?1).
?3?13x当1?x?2时,1?t?x?2,故f(t)?1,所以
F(x)??f(t)dt??1dt??t?1?x?1.
11xxx应选(D).
(4)【答案】(B)
【解析】判定函数f(x)零点的个数等价于判定函数y?f(x)与x的交点个数.
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x11对函数f(x)?lnx??k两边对x求导,得 f?(x)??.
exe令f?(x)?0,解得唯一驻点x?e,
,?f?(x)?0,0?x?e;???f(x)严格单调增加即 ?
?,?f(x)?0,e?x???;f(x)严格单调减少e所以x?e是极大值点,也是最大值点,最大值为f(e)?lne??k?k?0.
ex?limf(x)?lim(lnx??k)??????x?0x?0?e又因为 ?,
?limf(x)?lim(lnx?x?k)???x????e?x???由连续函数的介值定理知在(0,e)与(e,??)各有且仅有一个零点(不相同).
x故函数f(x)?lnx??k在(0,??)内零点个数为2,选项(B)正确.
e(5)【答案】(C)
【解析】方法一：由几何图形判断.
由f(x)??f(?x),知f(x)为奇函数,图形关于原点对称； 在(0,??)内f?(x)?0,f??(x)?0,f(x)图形单调增加且向上凹,
根据图可以看出f(x)在(??,0)内增加而凸,f?(x)?0,f??(x)?0,选(C). 方法二：用代数法证明.
对恒等式f(x)??f(?x)两边求导,得
f?(x)?f?(?x),f??(x)??f??(?x).
当x?(??,0)时,有?x?(0,??),所以
f?(x)?f?(?x)?0,f??(x)??f??(?x)?0,
故应选(C).
三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) (1)【解析】y???sin[f(x2)]???cos[f(x2)]?f?(x2)?2x,
y????cos[f(x2)]?f?(x2)?2x??
2????cos[f(x2)]???f?(x2)?2x?cos[f(x2)]??f(x)????2x
?cos[f(x2)]?f?(x2)?(2x)?
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??sin[f(x2)]?[f?(x2)]2?(2x)2?cos[f(x2)]?f??(x2)?(2x)2
?cos[f(x2)]?f?(x2)?2. 【相关知识点】复合函数求导法则：
如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为
dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx(2)【解析】应先化简再求函数的极限,
x???limx(x?100?x)?lim2x(x2?100?x)?(x2?100?x)x?100?x2x???
.
?lim因为x?0,所以
100xx?100?x2x????lim1001?x2?100?1x?x???x???1?1?100x?2?1?x2?100?1x(3)【解析】先进行恒等变形,再利用基本积分公式和分部积分法求解.
x???lim100?lim100100??50. ?1?1??40?xxsec2x1?4dx??dx??4xdtanx
01?cos2x220???111?1sinx444???xtanx?0tanxdx?(?0)?dx ??0022242cosx?1??1?144 ???dcosx???ln(cosx)?0082cosx82???1??12?1?[ln(cos)?ln(cos0)]??ln??ln2. 82482284(4)【解析】用极限法求广义积分. ???0??(1?x)?1??x?2?3dx?dx?[(1?x)?(1?x)]d(1?x) 33??00(1?x)(1?x)??b?2x?1?1?? ???(1?x)?1?(1?x)?2??lim?? 2?b???2??0?2(x?1)?0 ??lim2b?1111??0??.
b???2(b?1)2222(5)【解析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是
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y??2xcosxy?, x2?1?0, 22x?1x?12x通解为 y?e??x2?1dxcosx?x2?1dx[?2edx?C] x?122xd(x?1)??x2?1?cosx?x2?1 ?edx?C? ??2ex?1????1???sin2x?C. cosxdx?C ?2?x?1??x?1sin0?Csinx?1?1,所以 C??1.所求特解为 y?2代入初始条件 yx?0?1,得 2.
0?1x?1?d(x2?1)【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的通解公式为:
?p(x)dxp(x)dxy?e?(?q(x)e?dx?C),其中C为常数.
四、(本题满分9分)
【解析】要确定常数?,?,?,只需将特解代入原微分方程后,用比较系数法即得.
对于特解y?e2x?(1?x)ex,有
y??2e2x?ex?(1?x)ex?2e2x?(2?x)ex,
2xx?2xxx2xx? y????, 2e?(2?x)e?4e?e?(2?x)e?4e?(3?x)e??代入方程y????y???y??ex,得恒等式
2xx2xx2xxx ??4e?(3?x)e??????2e?(2?x)e??????e?(1?x)e????e,
化简得
(4?2???)e2x?(3?2???)ex?(1????)xex??ex,
比较同类项系数,得
?4?2????0??3?2?????, ?1?????0?解之得???3,??2,???1.
于是原方程为y???3y??2y??ex,所对应的齐次微分方程y???3y??2y?0的特征方 程为r2?3r?2?0,解之得 r1?1,r2?2.
所以微分方程y???3y??2y??ex的通解为
y?c1ex?c2e2x?y*?c1ex?c2e2x?e2x?(1?x)ex?c1ex?c2e2x?xex.
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