(3)【答案】(1?x)?1?x2?C 其中C为任意常数.
【解析】方法1：积分的凑分法结合分项法,有
322?1x21(1?x2)?12dx??d(1?x)??d(1?x2)
21?x221?x21?x2?1122(1?x?)d(1?x) ?221?x1112221?xd(1?x)?d(1?x) 2?2?1?x2x3?3122?(1?x)?1?x2?C 其中C为任意常数. 3方法2：令x?tant,则dx?sec2tdt,
?x31?x2dx??tan3tsectdt??tan2td(sect)??(sec2t?1)d(sect)
313122?sect?sect?C?(1?x)?1?x2?C,其中C为任意常数. 33方法3：令t?x2,则x?t,dx?12t,
?x31?x2dx?1tdt 此后方法同方法1,积分的凑分法结合分项法
2?1?t3111??(1?t?)dt?(1?x2)2?1?x2?C,其中C为任意常数. 231?t(4)【答案】4(2?1)
【解析】注意f(x)2?f(x)?f(x),不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实际上
是分段函数的积分.
由二倍角公式 sin??2sin2?2?cos?22,则有
????1?sin??sin?cos?2sin?cos??sin?cos?.
2222?22?所以 ??????201?sinxdx???0?xx?xx?sin?cosdx?sin?cosdx ???02222??2 第 36 页 共 469 页
???20??xx?xx??cos?sindx?sin?cos?????dx ?2222???2??xx?2xx????2?sin?cos??2??cos?sin?
22?022????2??4(2?1).
1(5)【答案】y?Cx?x3,其中C为任意常数
5【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 y??由一阶线性微分方程的通解公式,得
11??2xdx?12??2xdxy?e?xedx?C???
2??11y??x2. 2x21?Cx?x3 其中C为任意常数.
5【相关知识点】一阶线性非齐次方程y??P(x)y?Q(x)的通解为
?P(x)dx??P(x)dxdx?C?,其中C为任意常数. y?e???Q(x)e???
四、(本题满分9分)
【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.
令x?2?t,则dx?dt.当x?1时,t??1；当x?3时,t?1,于是
?31f(x?2)dx??f(t)dt分段??1?t2?dt??e?tdt
?1?10171?1???t?t3??e?t??.
03e?3??10101
五、(本题满分9分)
【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程
r2?3r?2?0有两个根为r1?1,r2?2,而非齐次项xe?x,??1?r1为单特征根,因而非齐次方程
有如下形式的特解Y?x(ax?b)ex,
1代入方程可得a??,b??1,所求解为
2xy?C1ex?C2e2x?(x?2)ex,其中C1,C2为任意常数.
2【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(x)是二阶线性非齐次方程
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y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的通解,则y?Y(x)?y*(x)是非齐次方程的通解.
2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
Y(x),可用特征方程法求解：即y???P(x)y??Q(x)y?0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程变为y???py??qy?0.其特征方程写为r2?pr?q?0,在复数域内解出两个特征根r1,r2；
分三种情况：
(1) 两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y?C1erx1?C2er2x; (2) 两个相等的实数根r1?r2,则通解为y??C1?C2x?erx1;
(3) 一对共轭复根r1,2???i?,则通解为y?e?x?C1cos?x?C2sin?x?.其中C1,C2为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解y*(x),可用待定系数法,有结论如下：
?x*k?x如果f(x)?Pm(x)e,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)?xQm(x)e
的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而k按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x],则二阶常系数非齐次线性微分方程
y???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解可设为
(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x],
(1)(2)其中Rm(x)与Rm(x)是m次多项式,m?max?l,n?,而k按??i?(或??i?)不是特征方程的
根、或是特征方程的单根依次取为0或1.
六、(本题满分9分) 【解析】由于y?ln(1?x2),
1?x21?2x(1?x2)222??ds?1?ydx?dx,(0?x?), y??,1?y?,22221?x21?x(1?x)所以 s??1/2021/22?(1?x)1?x2dx??dx 2201?x1?x1/2?1/211/2121? ????1dx?dx?dx??2??0001?x1?x2?1?x? 第 38 页 共 469 页
11?1?x??ln???ln3?. ?1?x22??01/2【相关知识点】平面曲线弧长计算：已知平面曲线AB的显式表示为y?f(x)?a?x?b?,则弧微分为 ds?1?f?2(x)dx,弧长s??
七、(本题满分9分)
【解析】过曲线上已知点(x0,y0)的切线方程为y?y0?k(x?x0),其中当y?(x0)存在时,k?y?(x0).
如图所示,设曲线上一点(t,t)处的切线方程为
y?t?12t(x?t),
y ba1?f?2(x)dx,其中f(x)在?a,b?有连续的导数.
t化简即得 y?x2t2?t. 2O t 2 x面积 S(t)??0??x?t?14??xdx??t?2, ?????2t2?3t??????11t?1其一阶导数 S?(t)??t?3/2?t?1/2?.
222tt令S?(t)?0解得唯一驻点t?1,而且S?在此由负变正,即S(t)在(??,1]单调递减,在[1,??)单调递增,在此过程中S(t)在t?1时取极小值也是最小值,所以将t?1代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为y?
八、(本题满分9分)
【解析】证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设x2?x1?0,要证的不等式是
x1?. 22f(x1?x2)?f(x2)?f(x1)?f(0).
在[0,x1]上用中值定理,有 f(x1)?f(0)?f?(?)x1,0???x1,
在[x2,x1?x2]上用中值定理,又有 f(x1?x2)?f(x2)?f?(?)x1,x2???x1?x2,
由f??(x)?0,所以f?(x)单调减,而??x1?x2??,有f?(?)?f?(?),所以
f(x1?x2)?f(x2)?f(x1)?f(0)?f(x1),
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即 f(x1?x2)?f(x1)?f(x2). 证法二：用函数不等式来证明.
要证 f(x1?x)?f(x1)?f(x),x?0.
令辅助函数?(x)?f(x1)?f(x)?f(x1?x),则??(x)?f?(x)?f?(x1?x). 由f??(x)?0,f?(x)单调减,f?(x)?f?(x1?x),??(x)?0,由此,
?(x)??(0)?f(x1)?f(0)?f(x1)?0(x?0).
改x为x2即得证.
【相关知识点】拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续,在开区间?a,b?内可导,那么在?a,b?内至少有一点?(a???b),使等式f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立.
1993年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) lim?xlnx?＿＿＿＿＿＿.
x?0(2) 函数y?y(x)由方程sin(x2?y2)?ex?xy2?0所确定,则(3) 设F(x)??(2?1xdy?＿＿＿＿＿＿. dx1)dt(x?0),则函数F(x)的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿. t(4) ?tanxdx?＿＿＿＿＿＿. cosx1(5) 已知曲线y?f(x)过点(0,?),且其上任一点(x,y)处的切线斜率为xln(1?x2),则f(x)?2＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
11(1) 当x?0时,变量2sin是 ( )
xx(A) 无穷小 (B) 无穷大
(C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大
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