?|x2?1|,x?1,?(2) 设f(x)??x?1 则在点x?1处函数f(x) ( )
? 2, x?1,?(A) 不连续 (B) 连续,但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续
x?x2,0?x?1,(3) 已知f(x)??? 设F(x)??f(t)dt(0?x?2),则F(x)为 ( )
?1, 1?x?2,1?1(A)????3x3,0?x?1?131 (B) ??3x?3,0?x?1 ?x,1?x?2??x,1?x?2?13?(C) ??x,0?x?1?1x3?1,0?x?1?3 (D) ?33 ?x?1,1?x?2??x?1,1?x?2(4) 设常数k?0,函数f(x)?lnx?xe?k在(0,??)内零点个数为 ( )
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
(5) 若f(x)??f(?x),在(0,??)内f?(x)?0,f??(x)?0,则f(x)在(??,0)内 ( )
(A) f?(x)?0,f??(x)?0 (B) f?(x)?0,f??(x)?0 (C) f?(x)?0,f??(x)?0 (D) f?(x)?0,f??(x)?0
三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)
2d2(1) 设y?sin[f(x)],其中f具有二阶导数,求ydx2.
(2) 求xlim???x(x2?100?x).
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?(3) 求?40xdx.
1?cos2x (4) 求?
(5) 求微分方程(x2?1)dy?(2xy?cosx)dx?0满足初始条件yx?0?1的特解.
四、(本题满分9分)
设二阶常系数线性微分方程y????y???y??ex的一个特解为y?e2x?(1?x)ex,试确定常数?,?,?,并求该方程的通解.
五、(本题满分9分)
??0xdx. 3(1?x) 第 42 页 共 469 页
设平面图形A由x2?y2?2x与y?x所确定,求图形A绕直线x?2旋转一周所得旋转体的体积.
六、(本题满分9分)
作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h为何值时,其体积V最小,并求出该最小值.
七、(本题满分6分)
设x?0,常数a?e,证明(a?x)a?aa?x.
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八、(本题满分6分)
设f?(x)在[0,a]上连续,且f(0)?0,证明：
?a0Ma2f(x)dx?,其中M?max|f?(x)|.
0?x?a2 第 44 页 共 469 页
1993年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】0
?【解析】这是个0??型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解.
?1lnxx??limx?0. limxlnx?lim洛limx?0?x?0?1x?0?1x?0??2xxy2?ex?2xcos(x2?y2)(2)【答案】
2ycos(x2?y2)?2xy【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程sin(x2?y2)?ex?xy2?0两边对
x求导,得
cos(x2?y2)?(2x?2yy?)?ex?y2?2xyy??0,
y2?ex?2xcos(x2?y2)化简得 y??. 222ycos(x?y)?2xy【相关知识点】复合函数求导法则：
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