x?0?lime?1x1x?1xe?et?10?1?lim???1. t???et0?1??1?1t
二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)、(D)
解：两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等, 对两函数分别对x求导,得
y??2x?a,则该曲线在点(1,?1)处的导数为y?x?1?2?a,
y3,则曲线在点(1,?1)处的导数为 2y??y?3xyy?,即y??22?3xy32(?1)3y?x?1??1,
2?3?1?(?1)2两导数相等,有2?a?1,即a??1.
又因为曲线y?x2?ax?b过点(1,?1),所以有?1?1?a?b?1?1?b?b,b??1. 所以选项(D)正确. (2)、(B)
解：这是分段函数求定积分.
当0?x?1时,f(x)?x2,所以F(x)?当1?x?2时,f(x)?2?x, 所以 F(x)??x01?1?f(t)dt??tdt??t3??x3.
0?3?03x2x?x0f(t)dt??tdt??(2?t)dt
011x12x12?1121?13?? ??t???2t?t???(2x?x)?(2?)
2?1322?3?0? ??71?2x?x2. 62?x3,0?x?1??3所以F(x)??,应选(B).
2??7?2x?x,1?x?2?2?6(3)、(B)
解：方法一：用排除法.
由于不可导点也可取极值,如f(x)??x?1,在x0?1处取极大值,但是x0?1不是f(x)??x?1的驻点,所以(A)不正确；
注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；
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对于f(x)??|x?1|,在x0?1处取极大值,但?x0??1并非是?f(x)?|x?1|的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).
方法二：证明(B)是正确的,因为x0?0,不妨设x0?0,则f(x0)为极大值,则在x0的某个领域内有
f(x0)?f(x0??x)；
函数y??f(?x)与函数y?f(x)关于原点对称,所以必有?f(?x0)??f(?x0??x),即在?x0的某个领域内?f(?x0)为极小值,故(B)是正确的.
(4)、(D)
解：函数的定义域为x?0,所以函数的间断点为x?0,
limy?limx?0x?01?e?x1?e2?x2?limx?0ex?1e?122x2??,所以x?0为铅直渐近线,
limy?limx??x??1?e?x1?e2?x2??limx??ex?1e?1x2?1,所以y?1为水平渐近线.
所以选(D).
知识点：铅直渐近线：如函数y?f(x)在其间断点x?x0处有limf(x)??,则x?x0是函数的一条铅直
x?x0渐近线；
水平渐近线：当limf(x)?a,(a为常数）,则y?a为函数的水平渐近线.
x??(5)、(A)
解：如图建立坐标系,则x?x?dx中,dx长度的细杆的质量为?dx,与质点的距离为a?x,故两点间的引力为dF?0km?dxkm?F?dx,故选(A). ,积分得22??l(a?x)(a?x) 同理应用微元法可知,若以l的中点为原点,则质点的坐标为(a?l2l?2l,0),故 2F??km?dx；
l(a??x)22若以l的左端点为原点,则质点的坐标为(a?l,0),故F?故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).
三、(每小题5分,满分25分.)
(1)解：这是个函数的参数方程,
km??0(a?l?x)2dx.
ldydy/dtsint?tcost??, dxdx/dtcost?tsint 第 22 页 共 469 页
d2yddy1dsint?tcost1?()??()? 2dxdxdtdxdtcost?tsintcost?tsintdt?(2cost?tsint)(cost?tsint)?(2sint?tcost)(sint?tcost)1 ?(cost?tsint)2cost?tsint2(cos2t?sin2t)?t2(sin2t?cos2t)?3tsintcost?3tsintcost ?(cost?tsint)32?t2. ?3(cost?tsint)知识点：参数方程所确定函数的微分法：
?x??(t)dy??(t)如果 ?,则 . ??dx?(t)y??(t)?(2)解：用换元法求定积分.
令t?x,则x?t2,dx?2tdt,则
?41221dx11??2?2tdt?2?(?)dt 1t(1?t)1t1?tx(1?x)2t?214??2?ln?2(ln?ln)?2ln.
323?t?1??1(3)解：利用等价无穷小和洛必达法则.
当x?0时,有sinxx,ex1?x,所以
2?x?x2??2sin2x?sinxx?sinx1?cosx2?lim?2??1. lim2x?lim洛lim?limx?0x(e?1)x?0x?0x?0x?0x33x23x23x26(4)解：用分部积分法求不定积分.
1?cos2x1dx??(x?xcos2x)dx 221111??xdx??xcos2xdx?x2??xd(sin2x) 2244111?x2?xsin2x??sin2xdx 444111?x2?xsin2x?cos2x?C. 4481x(5)解：所给方程是一阶线性方程,其标准形式为y??y?e.通解为
x2?xsinxdx??x?dxdx1?x?xxy?e(?eedx?C)?(?xexdx?C)
x?11 第 23 页 共 469 页
111(?xdex?C)?(xex??exdx?C)?(xex?ex?C). xxx1x?1xe. 代入初始条件y(1)?1得C?1,所以特解为y??xx ?知识点：一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的通解为
?p(x)dxp(x)dxy?e?(?q(x)e?dx?C),其中C为常数.
四、(本题满分9分)
解：首先应简化不等式,从中发现规律.
当x?1时,原不等式即(1?x)ln(1?x)?xlnx,即(1?x)ln(1?x)?xlnx?0. 证法一：令f(x)?(1?x)ln(1?x)?xlnx,则只需证明在x?1时f(x)?0即可, 可利用函数的单调性证明,对于f(x)有
f?(x)?ln(1?x)?1?lnx?1?ln(因x?1,故
x?1). xx?1?1,即f?(x)?0,所以在(1,??)上f(x)是严格递增函数,所以 xf(x)?f(1)?2ln2?0,
故(1?x)ln(1?x)?xlnx?0,所以当x?1时,有不等式
ln(1?x)x?成立. lnx1?x证法二：当x?1时,原不等式即(1?x)ln(1?x)?xlnx,不等式左右两端形式一致,故令
f(x)?xlnx,则f?(x)?lnx?1?0(x?1),所以f(x)?xlnx在x?1时严格单调递增,故f(x?1)?f(x)，即(1?x)ln(1?x)?xlnx.
所以当x?1时,有不等式
五、(本题满分9分)
解：微分方程y???y?x?cosx对应的齐次方程y???y?0的特征方程为r?1?0, 特征根为r1,2??i,故对应齐次通解为C1cosx?C2sinx.
方程y???y?x必有特解为Y1?ax?b,代入方程可得a?1,b?0. 方程y???y?cosx的右端e?x2ln(1?x)x?成立. lnx1?xcos?x?cosx,???i?i为特征根,必有特解
1. 2Y2?x?Acosx?x?Bsinx,代入方程可得A?0,B? 第 24 页 共 469 页
由叠加原理,原方程必有特解Y?Y1?Y2?x?所以原方程的通解为y?C1cosx?C2sinx?x?知识点：关于微分方程特解的求法:
xsinx. 21xsinx. 2?x???如果f(x)?Pm(x)e,则二阶常系数非齐次线性微分方程y?p(x)y?q(x)y?f(x)具有形如
y*?xkQm(x)e?x的特解,其中Qm(x)与Pm(x)同次(m次)的多项式,而k按?不是特征方程的根、是特征
方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.
如果f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x],则二阶常系数非齐次线性微分方程
y???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解可设为
(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x],
(1)(2)其中Rm或是(x)与Rm(x)是m次多项式,m?max?l,n?,而k按??i?(或??i?)不是特征方程的根、
特征方程的单根依次取为0或1.
六、(本题满分9分)
解：利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x轴的交点是x1?1,
31x2?2,顶点坐标为(,?).
24方法一：考虑对x积分,如图中阴影部分绕y轴旋转一周,
环柱体的体积为
dV??(x?dx)2y??x2y?2?xydx??ydx2
其中dx为dx?0的高阶无穷小,故可省略,且y为负的, 故y??y,即dV??2?xydx??2?x(x?1)(x?2)dx. 把x从1?2积分得
2V??2?x(1?x)(x?2)dx?2??(3x2?x3?2x)dx
112211????2??x3?x4?x2??2?(0?)?.
442??1方法二：考虑对y的积分,如图中阴影部分绕y轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y轴旋转一周后的体积差,即
dV??x22dy??x12dy
其中,x1,x2为Y?y与抛物线的交点,且x2?x1, 把Y?y代入抛物线方程y?(x?1)(x?2),解得
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