lkm?km?2(C) 2?l (D) dx2dx ??(a?x)20(a?x)220
三、(每小题5分,满分25分.)
?x?tcostd2y(1) 设?,求2.
dxy?tsint?
(2) 计算
(3) 求 limx?0?41dx. x(1?x)x?sinx. 2xx(e?1)
2(4) 求 xsinxdx.
?
(5) 求微分方程xy??y?xe满足y(1)?1的特解.
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四、(本题满分9分)
利用导数证明：当x?1时,有不等式
五、(本题满分9分)
求微分方程y???y?x?cosx的通解.
六、(本题满分9分)
曲线y?(x?1)(x?2)和x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.
七、(本题满分9分)
如图,A和D分别是曲线y?e和y?ex?2xln(1?x)x?成立. lnx1?x上的点,AB和DC均垂直x轴,且
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AB:DC?2:1,AB?1,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD的面积最大.
y
八、(本题满分9分)
y?e?2x Ay?ex 1D B OCx设函数f(x)在(??,??)内满足f(x)?f(x??)?sinx,且f(x)?x,x?[0,?), 计算
??3?f(x)dx.
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1991年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)、?ln3dx 3x?1解：由复合函数求导法则,即y??(f(x))的微分为dy???(f(x))f?(x)dx,有
dy?(2)、(?1ln3?x?3ln3?(?1)dx??dx. ?xx1?33?111,) 22解：求函数y?f(x)的凹凸区间,只需求出y??,若y???0,则函数图形为上凹,若
y???0,则函数图形为上凸,由题可知
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y??e?x?(?2x)??2xe?x,
1?x2?x2?x2??y??2e?(?2x)e?(?2x)?4e(x2?).
2因为4e?x?0,所以当x?22221122?0时y???0,函数图像上凸,即x2?,?时, 函数图像上凸.?x?2222故曲线上凸区间为(?11,). 22(3)、1
解：用极限法求广义积分.
???1blnxblnx1dx?limdx?limlnxd(?) 22??11b???b???xxx分部b?b11???lnx???lim????(?)dx? ??1b???xxx??1????b?lnb1?lnbln1?1???????????lim(?)?1?1. ?lim??b???b???1?x?1?bb?b??(4)、
1 2解：这是定积分的应用.
设在t?t?dt时刻的速度为tsin(t2),则在dt时间内的路程为ds?tsin(t2)dt,所以从时刻t1?秒到t2??2?秒内质点所经过的路程为
s??tsin(t2)dt
t1t2 ????/2tsin(t2)dt??12???/2sin(t2)dt2
12 ??cos(t)2(5)、?1
?/21?11??(cos??cos)??(?1?0)?.
22221??解：这是一个型未定式,分子分母同乘以ex,得
?1x1x1x1xx?0lim?1?e?lim?x?0e??1?1.
x?exe?为简化计算,令t??11,则x??,原式可化为 xt 第 20 页 共 469 页