x1?3?1?4y3?1?4y, ,x2?22故旋转体体积为V??01?42?(x2?x12)dy.把x1,x2的值代入化简,得
3?V??13?1?4ydy??4403?2?3?2???(1?4y)2????.
432?3??140
七、(本题满分9分)
解：可以利用函数的极值求解.
设B、C的横坐标分别为x1,x,因为|AB|?1,所以x1?0,x?0.依题设
AB:DC?2:1,所以有ex1?2e?2x,两边同时取自然对数,得x1?ln2?2x,
而 BC?x?x1?x?(ln2?2x)?3x?ln2,(x?0), 所以梯形ABCD的面积为
S?求函数S?1x113(e?e?2x)(3x?ln2)?(2e?2x?e?2x)(3x?ln2)?(3x?ln2)e?2x. 2223(3x?ln2)e?2x,(x?0)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x求导,并令S??0有 23S??(3?6x?2ln2)e?2x?0,
21111得驻点x??ln2,在此点S?由正变负,所以x??ln2是极大值点.
2323113?2x又驻点唯一,故x??ln2?0是S?(3x?ln2)e最大值点.
232111此时x??ln2,x1?ln2?1时,梯形ABCD面积最大,
233111故B点的坐标为(ln2?1,0),C点的坐标为(?ln2,0).
323
八、(本题满分9分)
解：这是个抽象函数求定积分,由题知
f(x??)?f(x)?sin(x??)?x?sinx,x?[0,?),
f(x?2?)?f(x??)?sin(x?2?)?x?sinx?sinx?x,x?[0,?), 而 对于
????3?f(x)dx??2??f(x)dx??3?2?f(x)dx,
??2?f(x)dx,令t?x??,则x?t??,dx?dt,所以
2?
f(x)dx??f(t??)dt??(t?sint)dt;
00?? 第 26 页 共 469 页
对于
??23?f(x)dx,令t?x?2?,则x?t?2?,dx?dt,所以
所以
??23?f(x)dx??f(t?2?)dt??tdt;
00????3?f(x)dx??2??f(x)dx??3?2?f(x)dx
?0 ? ???0?0(t?sint)dt??tdt
?0?2tdt??sintdt
??022???t?cost???2. ????0
1992年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
?x?f(t)??,dy?(1) 设?其中可导,且,则ff(0)?0?＿＿＿＿＿＿. 3tdxt?0?y?f(e?1),?(2) 函数y?x?2cosx在[0,]上的最大值为＿＿＿＿＿＿.
21?1?x2(3) limx?＿＿＿＿＿＿.
x?0e?cosx(4) ???1dx?＿＿＿＿＿＿.
x(x2?1)(5) 由曲线y?xex与直线y?ex所围成的图形的面积S?＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 当x?0时,x?sinx是x2的 ( )
(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小
(C) 等价无穷小 (D) 同阶但非等价的无穷小
2?? x, x?0(2) 设f(x)??2,则 ( )
??x?x,x?0 第 27 页 共 469 页
22??? ?x, x?0??(x?x),x?0(A) f(?x)??2 (B) f(?x)?? 2????(x?x),x?0? ?x, x?022??? x, x?0?x?x,x?0(C) f(?x)??2 (D) f(?x)?? 2???x?x,x?0? x, x?0x2?1x1(3) 当x?1时,函数e?1的极限 ( )
x?1(A) 等于2 (B) 等于0
(C) 为? (D) 不存在但不为?
(4) 设f(x)连续,F(x)??x20f(t2)dt,则F?(x)等于 ( )
(A) f(x4) (B) x2f(x4) (C) 2xf(x4) (D) 2xf(x2)
(5) 若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为 ( )
(A) 1?sinx (B) 1?sinx (C) 1?cosx (D) 1?cosx
三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)
?1(1) 求lim(3?xxx??6?x)2.
(2) 设函数y?y(x)由方程y?xey?1所确定,求d2y
dx
2
的值.
x?0
3(3) 求?x1?x2dx.
第 28 页 共 469 页
(4) 求?
(5) 求微分方程(y?x3)dx?2xdy?0的通解.
四、(本题满分9分)
2?3?1?x,x?0设f(x)???x,求?f(x?2)dx.
1?? e, x?0?01?sinxdx.
第 29 页 共 469 页
五、(本题满分9分)
求微分方程y???3y??2y?xex的通解.
六、(本题满分9分)
计算曲线y?ln(1?x2)上相应于0?x?
1的一段弧的长度. 2 第 30 页 共 469 页