r1?1,r2??1.
而形如y???y?ex必有特解Y1?x?aex；y???y?1必有特解Y1?b. 由叠加得原方程必有特解Y?x?ae?b,应选(B). (6)、(D)
解：利用导数的概念判定f(x)在x?a处可导的充分条件. (A)等价于limxt?0?f(a?t)?f(a)存在,所以只能保证函数在x?a右导数存在；
t(B)、(C)显然是f(x)在x?a处可导的必要条件,而非充分条件,
1??cos,x?0如 y??在x?0处不连续,因而不可导,但是 x??0,x?01111cos(0?)?cos(0?)cos?cosf(a?h)?f(a?h)hh?limhh?0, lim?limh?0h?0h?02h2h2h1111cos()?cos(0?)cos?cosf(a?2h)?f(a?h)2h2h?lim2h2h?0均存在； lim?limh?0h?0h?0hhh(D)是充分的：
f(a??x)?f(a)?x??hf(a)?f(a?h)f(a)?f(a?h)lim?lim存在?f?(a)?lim存在,应选(D). ?x?0h?0h?0?xhh
四、(本题满分6分)
解：所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式
11y??(?1)y?e2x,
xx?通解为 y?e1?(?1)dxx?1)dx12x?(11x12xxexxx(?eedx?C)?e(?exdx?C)?(e?C). xxxexexx(e?e). 代入初始条件y(1)?0,得C??e,所求解为 y?x【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为y??p(x)y?q(x),其通解公式为
?p(x)dxp(x)dx y?e?(q(x)e?dx?C),其中C为常数.
?
五、(本题满分7分)
解：先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, f(x)?sinx??x0(x?t)f(t)dt?sinx?x?f(t)dt??tf(t)dt,
00xx 第 11 页 共 469 页
所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得
f?(x)?cosx??f(t)dt?xf(x)?xf(x)?cosx??f(t)dt,
00xx再求导,得
f??(x)??sinx?f(x),即 f??(x)?f(x)??sinx,
这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为r?1?0,
此特征方程的根为r??i,而右边的sinx可看作e?xsin?x,??0,??1,??i???i为特征根,因此非齐次方程有特解Y?xasinx?xbcosx. 代入方程并比较系数,得a?0,b?21x,故Y?cosx,所以 22xf(x)?c1cosx?c2sinx?cosx.
211x又因为f(0)?0,f?(0)?1,所以c1?0,c2?,即 f(x)?sinx?cosx.
222
六、(本题满分7分)
解：方法一：判定方程f(x)?0等价于判定函数y?f(x)与x的交点个数.
?x令 f(x)?lnx???1?cos2xdx,
e0其中
??01?cos2xdx是定积分,为常数,且被积函数1?cos2x在(0,?)非负,故
?0??01?cos2xdx?0,为简化计算,令?x1?cos2xdx?k?0,即f(x)?lnx??k,
e则其导数f?(x)?11?,令f?(x)?0解得唯一驻点x?e, xe即 ??f?(x)?0,0?x?e,
?f?(x)?0,e?x???e?k?k?0. e所以,x?e是最大点,最大值为f(e)?lne?x?limf(x)?lim(lnx??k)????x?0??x?0?e又因为 ?,
?limf(x)?lim(lnx?x?k)???x????e?x???由连续函数的介值定理知在(0,e)与(e,??)各有且仅有一个零点(不相同),
x?故方程lnx???1?cos2xdx在(0,??)有且仅有两个不同实根.
e0方法二：
??01?cos2xdx???0sin2xdx,因为当0?x??时,sinx?0, 所以
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??02sin2xdx?2?sinxdx?2??cosx?0?22?0.
0??其它同方法一.
七、(本大题满分11分)
x?111y??2, 的定义域为,将函数化简为??,00,??????2xxx21126216则 y???3?2?2(??1),y???4?3?3(?2).
xxxxxxxx解：函数y?令y??0,得x??2,即
??y?????y????12(??1)?0,x?(?2,0),2xx故x??2为极小值点.
12(??1)?0,x?(??,?2)(0,??),2xx令y???0,得x??3,即
???y?????y?????16(?2)?0,x?(?3,0)(0,??),为凹，x3x
16(?2)?0,x?(??,?3)，为凸，3xx2y??在x??3处左右变号,所以x??3,y(?3)??为函数的拐点.
911又 limy?lim(?2)??,故x?0是函数的铅直渐近线；
x?0x?0xx11limy?lim(?2)?0,故y?0是函数的水平渐近线. x??x??xx填写表格如下： 单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹区间 凸区间 拐点 渐近线
(??,?2)(?2,0) x??2 1y?? 4(0,??) (?3,0)(0,??) (??,?3) 2(?3,?) 9x?0,y?0 第 13 页 共 469 页
八、(本题满分10分)
解：由题知曲线过点(0,0),得c?0,即y?ax2?bx. 如图所示,从x?x?dx的面积dS?ydx,所以
?1312? S??ydx??(ax?bx)dx??ax?bx?
002?3?01121ab?, 32ab12?2a由题知 ??,即b?.
3233 ?当y?ax2?bx绕x轴旋转一周,则从x?x?dx的体积dV??y2dx,所以 旋转体积
?a2x5abx4b2x3?a2abb2222V???ydx???(ax?bx)dx????????(5?2?3), 00523??0111?a24(1?a)2a(1?a)??b用a代入消去b,得V?????,这是个含有a的函数,两边对a求导得
5273??dV?4?(a?1), da2755dV,在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小, 4da35232这时b?,故所求函数y?ax?bx?c??x?x.
242令其等于0得唯一驻点a??
1991年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设y?ln(1?3),则dy?＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线y?e?x的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3)
2?x???1lnxdx?＿＿＿＿＿＿. x22(4) 质点以速度tsin(t)米每秒作直线运动,则从时刻t1?＿＿＿＿＿＿米.
?2秒到t2??秒内质点所经过的路程等于 第 14 页 共 469 页
(5) lim?x?01?e1x1x?＿＿＿＿＿＿.
x?e 二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 若曲线y?x2?ax?b和2y??1?xy3在点(1,?1)处相切,其中a,b是常数,则 ( )
(A) a?0,b??2 (B) a?1,b??3 (C) a??3,b?1 (D) a??1,b??1
x? x2, 0?x?1,(2) 设函数f(x)??记F(x)??f(t)dt,0?x?2,则 ( )
02?x,1?x?2,???x3x3 , 0?x?1 , 0?x?1????33(A) F(x)?? (B) F(x)??
22?1?2x?x,1?x?2??7?2x?x,1?x?2??32?3?6??x3x3 , 0?x?1 , 0?x?1????33(C) F(x)?? (D) F(x)??
222?x?2x?x,1?x?2?2x?x,1?x?2??2?2?3(3) 设函数f(x)在(??,??)内有定义,x0?0是函数f(x)的极大点,则 ( )
(A) x0必是f(x)的驻点 (B) ?x0必是?f(?x)的极小点 (C) ?x0必是?f(x)的极小点 (D) 对一切x都有f(x)?f(x0) (4) 曲线y?1?e1?e?x2?x2 ( )
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
(5) 如图,x轴上有一线密度为常数?,长度为l的细杆,有一质量为m的质点到杆右端的距离为a,已知
引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )
(A)
0l O am x lkm?km?dx (B) ??l(a?x)2?0(a?x)2dx
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