七、(本题满分9分)
求曲线y?x的一条切线l,使该曲线与切线l及直线x?0,x?2所围成的平面图形面积最小.
八、(本题满分9分)
已知f??(x)?0,f(0)?0,试证：对任意的二正数x1和x2,恒有
f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)
成立.
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1992年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】3
dydydy/dt3e3tf?(e3t?1)【解析】由复合函数求导法则可得 ,于是?3. ??dxt?0dxdx/dtf?(t)【相关知识点】复合函数求导法则:如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为
(2)【答案】3?dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx?6
??【解析】令y??1?2sinx?0,得[0,]内驻点x?.
26
因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,与端点值进行比较,求出最大值.
????又 y(0)?2,y()?3?,y()?,
6622??可见最大值为y()?3?.
66(3)【答案】0
11【解析】由等价无穷小,有x?0时,1?1?x2?(?x2)?x2,故
221?(?x2)21?1?x, limx?limx2x?0e?cosxx?0e?cosx0上式为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,由洛必达法则,有
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原式?lim1(4)【答案】ln2
2【解析】令b???,
x?0.
x?0ex?sinx原式?limb???1?b22b1bx?1?xxdx?lim(?)dx(分项法) ?limdx2?22?1b???1b???xx?1x(x?1)x(x?1)b1b1?limlnx1?lim?2dx2 (凑微分法) b???b???21x?1b1b12?limlnx1?limln(x?1)?limln?ln2 12b???b???2b???2b?1b11b21?limln2?ln2?ln1?ln2?ln2. b???22b?12e(5)【答案】?1
2【解析】联立曲线和直线的方程,解得两曲线的交点为(0,0),(1,e),则所围图形面积为
S??(ex?xex)dx,再利用分部积分法求解,得
01e?e?S??x2?xex???exdx??1.
2?2?0011注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,
最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.
【相关知识点】分部积分公式：假定u?u(x)与v?v(x)均具有连续的导函数,则
?uv?dx?uv??u?vdx, 或者 ?udv?uv??vdu.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)
x?sinx0【解析】lim为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用
x?0x20x?sinx1?cosxsinx?lim?lim?0,故选(B). 两次洛必达法则,有 lim2x?0x?0x?0x2x2【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,?(x),?(x)为无穷小且存在极限 lim(1) 若l?0,称?(x),?(x)在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若l?1,称?(x),?(x)在该极限过程中为等价无穷小,记为?(x)?(x)?l, ?(x)?(x)；
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(3) 若l?0,称在该极限过程中?(x)是?(x)的高阶无穷小,记为?(x)?o??(x)?. 若lim?(x)不存在(不为?),称?(x),?(x)不可比较. ?(x)(2)【答案】(D)
【解析】直接按复合函数的定义计算.
22?? (?x), ?x?0??x?x,x?0,f(?x)????2 2(?x)?(?x), ?x?0 x, x?0.????所以应选(D).
(3)【答案】(D)
?【解析】对于函数在给定点x0的极限是否存在,需要判定左极限x?x0和右极限 ?是否存在且相等,若相等,则函数在点x0的极限是存在的. x?x01x2?1x1?1x?1lime?lim(x?1)e?0, x?1?x?1x?1?1x2?1x1lime?1?lim(x?1)ex?1??. ??x?1x?1x?10??,故当x?1时函数没有极限,也不是?.故应选(D).
(4)【答案】(C)
【解析】 F?(x)?[?f(t2)dt]??f[(x2)2]?(x2)??2xf(x4),
0x2故选(C).
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
若F(t)???(t)?(t)f(x)dx,?(t),?(t)均一阶可导,则
F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.
(5)【答案】(B)
【解析】由f(x)的导函数是sinx,即f?(x)?sinx,得
f(x)??f?(x)dx??sinxdx??cosx?C, 其中C为任意常数.
所以f(x)的原函数
F(x)??f(x)dx??(?cosx?C)dx??sinx?C1x?C2,其中C1,C2为任意常数.
令C1?0,C2?1得F(x)?1?sinx.故选(B). 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) (1)【答案】e
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1【解析】此题考查重要极限：lim(1?)x?e.
x??x将函数式变形,有
?x?3x?1?1??3?xx236?36?x2lim()?lim(1?) x??6?xx??6?x?3x?1?6?x2lim?3x?1?2?limex???ex??6?x?e.
?32(2)【答案】2e2
【解析】函数y?y(x)是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方法1：在方程两边对x求导,将y看做x的函数,得
ey, y??e?xe?y??0,即 y??y1?xeyy把x?0,y?1代入可得y?(0)?e.
两边再次求导,得
eyy?(1?xey)?ey(ey?xeyy?), y???(1?xey)2d2y把x?0,y?1,y?(0)?e代入得y??(0)?2dx?2e2.
x?0方法2：方程两边对x求导,得y??ey?xeyy??0； 再次求导可得y???eyy??(eyy??xeyy?2?xeyy??)?0,
d2y把x?0,y?1代入上面两式,解得y?(0)?e,y??(0)?2dx?2e2.
x?0【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为
dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??, dxdxdudx2.两函数乘积的求导公式：
?f(x)?g(x)???f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x).
?u??u?v?uv?3.分式求导公式： ???. 2v?v? 第 35 页 共 469 页