101.（2009湖北省荆门市）如图，半径为25的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．
（1）求证：PA·PB＝PC·PD；
（2）设BC中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD； （3）若AB＝8，CD＝6，求OP的长．
解:（1）∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C． ∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴
AP?PD，∴PA·PB＝PC·PD； CPPB（2）∵F为BC中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF． 又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°， ∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．
（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由垂径定理： ∴OM＝（25）－4＝4，ON＝（25）－3＝11 又易证四边形MONP是矩形， ∴OP＝OM2?ON2?15.
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102. 44.（2009年泸州）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC， 交AB的延长线于E，垂足为F． (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．
【关键词】三角函数及切线的判定. 【答案】
(1)如图,连结OD、BD. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB＝90°,∴BD⊥AC. ∵AB＝BC,∴AD＝DC. ∵OA＝OB,∴OD∥BC, ∵DE⊥BC,OD⊥DE, ∴直线DE是⊙O的切线.
(2)作DH⊥AB,垂足为H,则∠EDH+∠E＝90°, 又∵DE⊥OD,
∴∠ODH+∠EDH＝90°,∴∠E＝∠ODH, ∵AD＝DC,AC＝8,∴AD＝4. 在Rt△ADB中,BD?AB2?AD2?52?42?3,
12, 5由三角形面积公式得:AB·DH＝DB·DA,即5DH＝4×3,解得DH?1224在Rt△ODH中,cos∠ODH＝5＝,
2.525∴cosE＝
24. 25- 47 -
103. （2009年常德市）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O 的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．
【关键词】圆 【答案】
△ABE 与△ADC相似．理由如下： 在△ABE与△ADC中
∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90， ∵AD是△ABC的边BC上的高， ∴∠ADC＝90， ∴∠ABE＝∠ADC．
又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA＝∠DCA． ∴△ABE ～△ADC．
104.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝ 60?，AB与PC交于Q点． （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （2）求证：
o
o
APAQ?； PBQB（3）若∠ABP ＝ 15?，△ABC的面积为43，求PC的长．
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解:
（1） 证明:∵ ∠ABC ＝∠APC ＝ 60?，∠BAC ＝∠BPC ＝ 60?，
∴ ∠ACB ＝ 180?－∠ABC－∠BAC ＝ 60?， ∴ △ABC是等边三角形．
（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则 ∠BDP ＝∠APC ＝ 60?．
又 ∵ ∠AQP ＝∠BQD， ∴ △AQP∽△BQD，
AQAP?． QBBD∵ ∠BPD ＝∠BDP ＝ 60?， ∴ PB ＝ BD． ∴
AQAP?． QBPB（3）设正△ABC的高为h，则 h ＝ BC· sin 60?． ∵
1BC · h ＝ 43， 21BC · BC· sin 60? ＝ 43， 2 即
解得BC ＝ 4．
连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．
由△ABC是正三角形知∠BOC ＝ 120?，从而得∠OCE ＝ 30?，
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∴ OC?CE4． ?cos30?3
由∠ABP ＝ 15? 得 ∠PBC ＝∠ABC +∠ABP ＝ 75?，于是 ∠POC ＝ 2∠PBC ＝ 150?． ∴ ∠PCO ＝（180?－150?）÷2 ＝ 15?．
如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM ＝ 15?，则∠RNG ＝ 30?，作GH⊥RN，垂足为H．设GH ＝ 1，则 cos∠GNM ＝ cos15? ＝ MN． ∵ 在Rt△GHN中，NH ＝ GN · cos30?，GH ＝ GN · sin30?． 于是 RH ＝ GH，MN ＝ RN · sin45?，∴ cos15? ＝
2?6． 426． 3在图中，作OF⊥PC于E，∴ PC ＝ 2FD ＝ 2 OC ·cos15? ＝22?
105.(2009年福建省泉州市)已知：直线y＝kx(k≠0)经过点（3，-4）.
(1)求k的值；
(2)将该直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原点）,试求m的取值范围.
【关键词】直线与⊙O相离
【答案】解：（1）依题意得：-4＝3k，∴k＝?4 34x+m(m＞0) 3（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线l所对应的函数关系式为y＝?设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）
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