即 6-BE＝2+DG ∴2BE＝4，即 BE＝2 又 △BCE∽△BAC
·AB?12 ∴ BC?BE2BC??23（舍去负值）
∴BC?23
（2）证法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ∴∠BEF＝?ADB?90?， 在Rt△ADB与Rt△FEB中， ∵?ABD??FBE ∴△ADB∽△FEB，则
ADAB? EFBF即
26?， ∴BF?3EF EFBF又∵BF?CF， ∴CF?3EF 利用勾股定理得：
BE?BF2?EF2?22EF
又∵△EBC∽△ECA 则
CEBE2?，即则CE?AE?BE AECE2∴(CF?EF)?(6?BE)?BE
即(3EF?EF)2?(6?22EF)?22EF ∴EF?∴BC?
86.(2009年四川省内江市)如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC.
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2 2BE2?CE2?23.
求证：（1）CD⊥DF； （2）BC＝2CD
【关键词】三角形全等的判定.
【答案】证：（1）设∠DFC＝θ，则∠BAD＝2θ 在△ABD中，∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB ∠ABD＝12（180°-∠BAD）＝90°-θ 又∠FCD＝∠ABD＝90°-θ ∴∠FCD+∠DFC＝90° ∴CD⊥DF
（2）过F作FG⊥BC于G
在△FGC和△FDC中 ，∠FCG＝∠ADB＝∠ABD＝∠FCD ∠FGC＝∠FDC＝90°,FC＝FC ∴△FGC≌△FDC
∴GC＝CD且∠GFC＝∠DFC 又∠BFC＝2∠DFC ∴∠GFB＝∠GFC ∴BC＝2GC， ∴BC＝2CD.
87．（2009年甘肃庆阳）（10分）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E． （1）∠E＝ 度；
（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；
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（3）求弦DE的长．
【关键词】圆周角和圆心角；相似三角形 【答案】本小题满分10分 解：（1）45． （2）△ACP∽△DEP．
理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE， ∴ △ACP∽△DEP． （3）方法一：
∵ △ACP∽△DEP， ∴ AP?AC.
DPDE
又 AP＝AD2?DP2?5，AC＝AD2?DC2?22， ∴ DE＝210．
5
方法二：
如图2，过点D作DF?AE于点F． 在Rt△ADP中， AP＝AD2?DP2?5,
又?S△ADP?
11AD?DP?AP?DF， 22∴ DF＝25． 5 - 33 -
∴ DE?2DF?210．
5
88.(2009年衢州）如图，AD是⊙O的直径．
(1) 如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是 ，∠B2的度数是 ；
(2) 如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，
∠B3的度数；
(3) 如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．
【关键词】开放性试题
【答案】解：(1) 22.5°，67.5°
(2) ∵ 圆周被6等分，
?C＝C?C＝C?C＝360°÷6＝60°． ∴ B111223∵ 直径AD⊥B1C1，
m11??∴ ?＝30°，∴ ∠BAC1＝BCAC1＝15°． ?11122∠B2?∠B3?mm1?1AC2＝×(30°＋60°)＝45°， 221?1AC3＝×(30°＋60°＋60°)＝75°． 2211360?360?(90n?45)?(3) ?Bn?[?． ?(n?1)?]?222n2nn
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(或?Bn?90??
360?45?) ?90??8nn
89. （2009年广州市）如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝23cm， （1）求∠BAC的度数； （2）求⊙O的周长
【关键词】圆 【答案】
90.（2009年广西钦州）（2）已知：如图2，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为5．求⊙O1的半径． yO1O AOA B xB图2
【关键词】垂径定理、勾股定理、坐标系 【答案】
（2）解：过点O1作O1C⊥AB，垂足为C， 则有AC＝BC．
yO1O CAOA B xB图2 由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2．
在Rt△AO1C中，∵O1的纵坐标为5， ∴O1C＝5．
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