根据勾股定理得x2?12?(2x)2，解得x?PE3（或者用tan?EAP?）
AE3即PE的长是
3. 397.(2009年潍坊)如图所示，圆O是△ABC的外接圆，?BAC与?ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连结BD、DC． （1）求证：BD?DC?DI；
（2）若圆O的半径为10cm，?BAC?120°，求△BDC的面积．
（1）证明：?AI平分?BAC
??BAD??DAC，?BD?DC ?BI平分?ABC，??ABI??CBI
??BAD??DAC，?DBC??DAC
??BAD??DBC，又?DBI??DBC??CBI，?DIB??ABI??BAD ??DBI??DIB，△?BDI为等腰三角形 ?BD?ID，?BD?DC?DI
（2）解：当?BAC?120°时，△ABC为钝角三角形，
?圆心O在△ABC外，
连结OB、OD、OC，
??DOC??BOD?2?BAD?120°， ??DBC??DCB?60°，
?△BDC为正三角形．
又知OB?10cm，
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?BD?2OBsin60°?2?10??S△BDC?3?103cm 23?(103)2?753cm24.
答：△BDC的面积为753cm．
2
??CD??DE?，∠BAE＝90°． 98.（09湖北宜昌）已知：如图，⊙O的直径AD＝2，BC(1)求△CAD的面积；
(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P，那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少？
【关键词】圆的基本性质、圆周角和圆心角 【答案】解：（1）∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝∠BAE＝90°．
??CD??DE?，∴ ∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ． ∵ BC∴∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ＝30°．
∵在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝2sin30°＝1， AC＝2cos30°＝3 ．
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∴S△ACD＝
12AC×CD ＝
32．
(2) 连BD，∵∠ABD＝90°， ∠BAD＝ ＝60°， ∴∠BDA＝∠BCA＝ 30°，∴BA＝BC. 作BF⊥AC，垂足为F，（5分） ∴AF＝
12AC＝
1232 ，∴BF＝AFtan30°＝
3412 ，
∴S△ABC＝AC×BF ＝ ， ∴SABCD＝334 ．
33∵S⊙O＝π ，∴P点落在四边形ABCD区域的概率＝4?＝
334?．
（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M．
∵∠BCA＝∠CAD（证明过程见解法），∴BC∥AD． ∴四边形ABCD为等腰梯形． ∵CM＝ACsin30°＝
32，∴SABCD＝
12(BC+AD)CM＝
33334．
∵S⊙O＝π， ∴P点落在四边形ABCD区域的概率＝4?＝334?．
99.(2009年黄冈市)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：BC?BG?BF.
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【关键词】圆周角性质 【答案】∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90° 又∵CD⊥AB于点D，
∴∠BCD＝90°－∠ABC＝∠A＝∠F ∵∠BCD＝ ＝∠F，∠FBC＝∠CBG ∴△FBC∽△CBG ∴
BCFB? BGCB2∴BC?BG?BF
100. （2009襄樊市）如图12，已知：在?O中，直径AB?4，点E是OA上任意一点，
?上一点，连接AF交CE于H，过E作弦CD?AB，点F是BC连接AC、CF、BD、OD．
（1）求证：△ACH∽△AFC；
（2）猜想：AH?AF与AE?AB的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当点E位于何处时，S△AEC:S△BOD?1:4?并加以说明．
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证明：（1）∵直径AB?CD ∴?AC??AD ∴?F??ACH 又?CAF??FAC ∴△ACH∽△AFC
（2）答：AH?AF?AE?AB,连接FB ∵AB是直径，
∴∠AFB?∠AEH?90? 又∠EAH?∠FAB ∴Rt△AEH∽Rt△AFB
AEAH?AFAB
∴AH?AF?AE?AB
∴
（3）当OE?31（或AE?）时，S△AEC:S△BOD?1:4． 22∵直径AB?CD ∴CE?ED ∵S△AEC?∴
11AE?EC，S△BOD?OB?ED 22S△AECAE1??
S△BODOB4∵?O的半径为2 ∴
2?OE1? 243 2∴OE? - 45 -