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习题四
1．求下列微分方程组的通解
dx1
dt x2 x3, dx1
dt x1 2x2, dx
（1） （2） 2 x1 x2 x3,
dx
2 4x1 3x2; dt dt dx3 x x.
23
dt x1 12
解：(1)设A x ,则原方程组可写为 43 ,x
2
dx
Ax， dt
矩阵A的特征方程为
I A
1
4
2
3
( 5)( 1) 0，
1 1
则矩阵A的特征值为 1 5, 2 1,求得矩阵A的特征向量分别为 2 , 1 ,
令P
11 1 11 1
P ,则,有 2 12 13
50 PAP ,A P P 1,
0 1
1
则
e
At
PeP
t 1
1 11 e5t 3 2 1 00 11 1 e5t 2e t
3 5t t t
2 1e 2e 2ee5t e t
. 5t t e e
故该方程组的通解为
1 e5t 2e t
x ec 5t
3 2e 2e t
Ate5t e t c1
5t t e e c2 1 (c1 c2)e5t (2c1 c2)e t
5t t 3 (2c1 2c2)e (2c1 c2)e
其中c1,c2为任意常数.