kk k 1k(k 1) k 2 2k
A k
0 k k 1 00 k
用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设k时成立，则k 1时，
kk k 1k(k 1) k 2 10 2
Ak 1 Ak A 0 kk k 1 0 1
00 00 k
k 1(k 1) k 1(k 1)k k 1 2 0 k 1(k 1) k 1 k 1
00 kk k 1k(k 1) k 2 2Ak 0 kk k 1
00 k
由数学归纳法原理知
9 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵 证明 因为AT A 所以
(BTAB)T BT(BTA)T BTATB BTAB 从而BTAB是对称矩阵
10 设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB BA
证明 充分性 因为AT A BT B 且AB BA 所以 (AB)T (BA)T ATBT AB