六、(15分) 设P[x]3={f(x)=a0+a1x+a2x+a3x|a0,a1,a2,a3∈R}是次数不超过3的实系数多项式所成的线性空间. 已知多项式的微分运算:
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f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3∈P[x]3,D(f(x))=a1+2a2x+3a3x2
是P[x]3上的线性变换.
(1)证明{1,1+x,1+x+x,1+x+x+x}构成线性空间P[x]3的基; (2)求由基{1,x,x,x}到 {1,1+x,1+x+x,1+x+x+x}的过渡矩阵P; (3)求多项式f(x)=1+2x+3x+4x分别在基{1,x,x,x}与基
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{1,1+x,1+x+x2,1+x+x2+x3}下的坐标.
(4)求线性变换D分别在基{1,x,x,x}与基 {1,1+x,1+x+x,1+x+x+x}下的矩阵.
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