第三章 裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子
裂纹所处的状态可分为三种：静止状态、不稳定平衡状态和失稳扩展状态。裂纹究竟处于哪种状态，与裂纹尖端附近的应力场有直接关系。Irwin（爱尔文）通过对裂纹尖端附近应力场的研究，提出了一个新的参量～应力强度因子，并建立了相应的断裂判据，在工程上得到了广泛的应用。
下面用复变函数的方法推导裂纹尖端附近的应力场与位移场，由此导出应力强度因子的概念。
§3.1 Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场
1．Westergaard（韦斯特哥德）应力函数
Westergaard应力函数是用来求解Ⅰ型裂纹尖端附近区域的应力场与位移场的。 根据弹性力学理论，对于平面应力问题，只需找出同时满足双调合方程和这个问题的边界条件的应力函数，就可以把应力函数代入下面的公式求解应力
2 x 2
y
2 （3—1）
y 2
x 2 xy
x y
2
2 2
满足调和方程 0的函数 (x,y)叫调和函数。其中， 2 2，称为拉普拉斯算子。
x y
2
满足双调和方程 4 2 2 0的函数 (x,y)叫双调和函数。
显然，调和函数必然是双调和函数。
应力函数确定后，先利用（2—1）求出各应力分量，然后将各应力分量代入广义虎克定律，可求得裂尖附近的应变分量
1 ( x y)x' E
1( )yyx E'
平面应力状态时:E E, （3—2）
平面应变状态时:E E(1 2), (1 )
其中，E为杨氏模量，μ为泊松比。
将应变分量代入下面的几何方程后积分，就可以得到裂尖附近的位移场
u v u v
x , y , xy x （3—3）
x y x y
因此，问题的关键就是找出同时满足边界条件和双调和方程的应力函数 (x,y)。 复变解析函数的实部和虚部都是调和函数，而调和函数的线性组合必然也是调和函数，因此也必然是双调和函数。因此可以利用复变解析函数的实部和虚部（不一定非得是同一个复变解析函数的实部和虚部）线性组合得到双调和函数，并使这个双调和函数满足所研究的问题的边界条件。就是我们要找的应力函数。而复变解析函数的任意次积分也必然是复变解析函数，因此，Westergaard选取了某一个复变解析函数ZⅠ(z)的一次积分和二次积分的线性组合，作为应力函数，用来求解Ⅰ
型裂纹尖端附近区域的应力场和位移场。
研究如图3—1所示的“无限大”板，板上有一个长为2a的中心贯穿裂纹，这个板在无限远处受双向等值拉伸应力的作用。属于Ⅰ型裂纹问题，Westergaard所选的应力函数为