~ 2 I 2~~
[ReZI(z) yImZI(z)]
x y x y
(z) yReZⅠ
将以上各式代入（3—1），可得
2 I
(z) ReZI(z) yImZⅠ x 2
y 2 I
(z) （3—8） y ReZI(z) yImZⅠ
2 x
2 I
(z) yReZⅠ xy
x y
将（3—8）代入（3—2）式，可得
11
(z)] ( ) [(1 )ReZI(z) y(1 )ImZⅠxxy E E
（3—9）
1( ) 1[(1 )RZ(z) y(1 )IZ (z)]yyxeImⅠ E E
将（3—9）代入（3—3）式，并积分，得
1~
u [(1 )RZeI(z) y(1 )ImZI(z)] E
（3—10）
1~ v [2IZ(z) y(1 )RZ(z)]
mIeI E
因此，找到解析函数ZI(z)，就可以得到Westergaard应力函数，于是裂纹尖端处的应力场和位移场就可以由公式（3—8）和（3—10）求得。因此问题的关键是找一个具体的解析函数ZI(z)，代入（3—8）式，所得到的应力分量应能满足图3—1所示问题的全部边界条件
2．解析函数ZI(z)的确定
将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则图3—1所示问题的边界条件为： （1）当y=0，x→∞时， x y 。
（2）在y=0，x a的裂纹自由面上， x 0, xy 0；而在x a时，随x a， y 。
（我们就是要利用这两个边界条件确定Z。 Ⅰz）
由（3—8）式可知，当y=0时
x y ReZⅠ(z), xy 0，且
z=x+iy=x。
因为问题是关于y轴对称的，所以ZⅠ(x)中的含x项应该是平方项；又因为x a时， y ，
a
所以ZⅠ(x)的分母中应有1－ 的因式。
x
a
又因为当x→∞时，1－ →1，而此时要求 x y ReZⅠ(z)=σ，因此分子应该取σ。
x
综上所述，试选
2
2
ZⅠ(x)
a 1 x
2