重点: 紧致空间的定义和性质难点: 紧致空间的性质
(3) . A T ,由于 T 是 X 拓扑,因此 A T T . (a) 若 (b) 若 A T1 ,则对 A A , X A是 X 中紧致闭集， 因此( X A) ( X A)A A A A
A T ,即 A
T T1 设
是 X 中紧致闭子集的交，从而它是闭集.设 A0 A ,则 X A 是紧致空间 X A 的闭集，从而由定理 8.1.5 A A 0X A是 知A A
X 的紧致闭子空间，因此 A A . (c) 当 (a),(b) 都 不 成 立 时 , 则 有 A1 A T , A 2 A T1 ,由(a)知 B1 A1 T ,由(b)知 B2 A 2 T1 ,于是X A X ( B1 B2 ) ( X B1 ) ( X B2 )
A T1 T
是 X 中的闭集,又 X B2 是紧致闭集，