重点: 紧致空间的定义和性质难点: 紧致空间的性质
定理 8.1.2 设 X 和 Y 是两个拓扑空间， X Y f: 是一个连续映射，如果 X 是一个紧致空间,则 f(X) 是 Y 的一个紧致子集,特别地,若 f 是一个满射,则 Y 也是一个紧致空间.证明：设 A 是 f(X)的一个由 Y 中的开
集构成 的任意覆盖，由于 f 是连续映射,因此对 A A , f 1 ( A) 是 X 中的开集,又 A A f (X ) .因此有 A A~ 因此集族 A { f 1 1A A
f
1
( A) f
1
( A) fA A
1
( f ( X )) X
1
( A) | A A } 是 X 的一个开覆盖.由n
于 X 是一个紧致空间，因此存在 A~ 的有限子族{ f ( A1 ), , f ( An )}使得 f 1 ( Ai ) X .i 1