《点集拓扑讲义》第八章 紧致性(9)

重点: 紧致空间的定义和性质难点: 紧致空间的性质

从 而 存 在 A 的 有 限 子 族 { A1 , A2 , , An ) 使 得i 1

Ai f ( f ( Ai ) f ( f ( Ai )) f ( X ) . 因 此i 1 i 1

n

1

n

n

1

{ A1 , , An ) 是 A 的有限子覆盖，从而由定理 8.1.2 知 f(X)是 Y 的一个紧致子集.由定理 8.1.4 可见，拓扑空间的紧致性质是一个 在连续映射下保持不变的性质，因而是一个拓扑性 质，也是一个可商性质.

由此可见， 由于实数空间不是紧致空间， 因此 与它同胚的任一开区间作为子空间都不是紧致空 间.