重点: 紧致空间的定义和性质难点: 紧致空间的性质
设 A 是由 B 中的元素构成的 X 1 X 2 的一个覆盖, 对于每个 x X 1,由于积空间 X 1 X 2 的子空间 {x} X 2 同胚于 X 2 ,因此它是 X 1 X 2 中的一个紧致子集,又显 然 A 是{x} X 2 的一个由 X 1 X 2 中的开集构成的一 个覆盖,由定理 8.1.1 知 A 有一个有限子覆盖覆盖 {x} X 2 ,设这个覆盖为2 n A x {U 1 Vx1 ,U x Vx2 , ,U x ( x ) Vxn ( x ) }. x
不妨假定 A x 中的每个元
都与 {x} X 2 有非空的交，若 不然，我们将 A 中与{x} X 2 无交的元从 A x 中去掉之 后， A x 中剩下的元素仍是{x} X 2 的覆盖，记 2 n M x U 1 U x U x ( x ) 则 M x 是包含点 x 的开集， xx