12 . .如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD BE，垂足为点H. （1）求证：AB是半圆O的切线； （2）若AB 3，BC 4，求BE的长. 解答：（1）证明：连接EC， ∵AD⊥BE于H，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4 ∴∠4＝∠5＝∠3， 又∵E为弧CF中点， ∴∠6＝∠7， ∵BC是直径， ∴∠E＝90°， ∴∠5＋∠6＝90°， 又∵∠AHM＝∠E＝90°， ∴AD∥CE， ∴∠2＝∠6＝∠1， ∴∠3＋∠7＝90°， 又∵BC是直径，
∴AB是半圆O的切线； （2）∵AB 3，BC 4。 由（1）知， ABC 90， ∴AC 5.
在△ABM中，AD BM于H，AD平分 BAC， ∴AM AB 3， ∴CM 2.
由△CME∽△BCE，得∴EB 2EC， ∴BE
A
A A
ECMC1
.
EBCB2
11