⌒上一点，过点M作⊙O的切16．（2010 安徽芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧AB线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。 （1）求证：PM=PN；
3
（2）若BD=4,PA=2AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．
【答案】（1）证明：连结OM, ∵ MP是⊙O的切线， ∴OM⊥MP
∴∠OMD +∠DMP=90°
∵OA⊥OB，∠OND +∠ODM=90° ∵∠MNP=∠OND, ∠ODN=∠OMD
∴∠DMP=∠MNP
∴PM=PN
（2）解：设BC交OM于E, ∵BD=4, ∴OA=OB=2, ∴PA=
3
OA=3 2
∴PO=5
∵BC∥MP, OM⊥MP, ∴OM⊥BC, ∴BE=
1BC 2
∵∠BOM +∠MOP=90°,在Rt△OMP中，∠MPO +∠MOP=90° ∴∠BOM=∠MPO.
又∵∠BEO=∠OMP=90° ∴△OMP∽△BEO ∴∴
15
OMBE
OPBO
482BE
, ∴BE= ∴BC=
5255