15. (2010湖北省荆门 ) 如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 ，
(1)求证：AC·CD＝PC·BC；
(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S． 答案23．解：(1)∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°． 又∵PC⊥CD， ∴∠PCD＝90°． 而∠CAB＝∠CPD， ∴△ABC∽△PCD． ∴
ACCP BCCD
． ∴AC·CD＝PC·BC；
(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．∵P是AB中点，
∴∠PCB＝45°，CE＝
BE
＝
又∠CAB＝∠CPB， ∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝4．
∴PE＝
BE
＝34
) 从而PC＝PE＋
EC．
由(1)得CD＝
43
PC
(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝12
PC·CD．
由(1)可知，CD＝4PC． ∴S△PCD＝
2PC2． 故PC最大时，S△PCD取得最大值； 而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝2×52＝50．
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第15题图