【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导数的简单应用]
(2)当a=1时,易知函数f(x)在[1,e]上为增函数, ∴f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(e)=e2+1. (3)证明:设F(x)=f(x)-g(x)=x2+ln x-x3, 则F'(x)=x+-2x2=当x>1时,F'(x)<0,
故F(x)在区间[1,+∞)上是减函数,又F(1)=-<0, ∴在区间[1,+∞)上,F(x)<0恒成立. 即f(x)<g(x)恒成立.
因此,当a=1时,在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方.
4.(2013石家庄二模)已知函数f(x)=ln x-. (1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性; (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值; (3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围. 解:(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞), 且f'(x)=
+
=
.
,
∵a>0,∴f'(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.