【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导数的简单应用]
(2)由(1)可知
,f'(x)=.
①若a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)min=f(1)=-a=,∴a=-(舍去).
②若a≤-e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,
∴f(x)min=f(e)=1-
=,∴a=-(舍去). ③若-e<a<-1,令f'(x)=0得x=-a,
当1<x<-a时,f'(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数, 当-a<x<e时,f'(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数, ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,∴a=-. 综上所述,a=-.
(3)∵f(x)<x2,∴ln x-<x2. 又x>0,∴a>xln x-x3.
令g(x)=xln x-x3,h(x)=g'(x)=1+ln x-3x2,h'(x)=-6x=∵x∈(1,+∞)时,h'(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数. ∴h(x)<h(1)=-2<0,即g'(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数.
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